查找第K大的值

这种题一般是给定N个数，然后N个数之间通过某种计算得到了新的数列，求这新的数列的第K大的值

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POJ3579

题意：

用$N$个数的序列$x[i]$，生成一个新序列$b$。

新的序列定义为：对于任意的$ i$，$j$且 $i != j $有$b[] = abs(x[i] - x[j])$

问新序列的中位数是什么,如果新序列的长度为偶数那么我们定义中位数为排序后第len/2位置的那个数

解法：

相当于问新序列中的第K大的数多少。

注意新数列不可能全都算出来。

二分答案，二分那个第K大的数的值。

$x[i]-x[j] \ge mid$

相当于

$x[i] \ge mid+x[j]$

然后我们在排序过的原数组中，对每个$a[i]$二分这个$mid$值，统计有多少个值小于它，统计累加所有的值，最后看是不是小于K

代码如下：

 int N;
 int a[MAXN];
 LL M;

 bool C(int t) {
     LL cnt = ;
     for (int i = ; i < N; i++) {
         cnt += N - (lower_bound(a + i + , a + N, a[i] + t) - a);
     }
     return cnt <= M / ;
 }

 void solve() {
     sort(a, a + N);
     M = N * (N - ) / ;
     int ub = a[N - ] + , lb = ;
     while (ub - lb > ) {
         int mid = (ub + lb) >> ;
         if (C(mid)) {
             ub = mid;
         } else {
             lb = mid;
         }
     }
     cout << lb << endl;
     return;
 }

 int main() {
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("input.txt", "r", stdin);
 #endif  // !ONLINE_JUDGE
     while (~scanf("%d", &N)) {
         for (int i = ; i < N; i++) {
             scanf("%d", &a[i]);
         }
         solve();
     }
     return ;
 }

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POJ3685

题意：

有一个$ N*N$ 的矩阵$ A$ ，$A[i][j]=i^2+100000i+j^2-100000j+ij$

求所有矩阵元素中第$ K$ 大的值

解法：

求第$ K$ 大的值，二分答案

首先肯定是二分这个K值是多少，接下来就是验证的问题。

由于$ N*N$ 的值很大，所以我们必须找到它的单调性，那么有以下式子：

$A[i+1][j] = A[i][j] + (2*i + j + 1 + 100000)$（同一列递推式）

$A[i][j+1] = A[i][j] + (2*j + i + 1 - 100000)$ （同一行递推式）

可以发现：在列方向上，矩阵单调递增，而在行方向上上，当$ （2*j + i + 1）> 100000 $ 时，递增，反之递减。

那么我们在每个列方向上直接二分那个$ i$ 值的大小，判断的一句就是$ A[i][j]$ 与假想$ K$ 值的大小关系。

代码如下：

 LL N, M;

 LL cal(LL i, LL j) { return i * i +  * i + j * j -  * j + i * j; }

 bool C(LL x) {
     LL sum = ;
     for (int j = ; j <= N; j++) {
         LL ub = N + , lb = ;
         LL ans = ;
         while (ub - lb > ) {
             LL mid = (ub + lb) >> ;
             if (cal(mid, j) <= x) {
                 ans = mid;
                 lb = mid;
             } else {
                 ub = mid;
             }
         }
         sum += ans;
     }
     return sum >= M;
 }

 void solve() {
     LL ub = LLINF, lb = -LLINF;
     while (ub - lb > ) {
         LL mid = (ub + lb) >> ;
         if (C(mid)) {
             ub = mid;
         } else {
             lb = mid;
         }
     }
     cout << ub << endl;
     return;
 }

 int main() {
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("input.txt", "r", stdin);
 #endif  // !ONLINE_JUDGE
     int T = READ();
     while (T--) {
         getchar();
         scanf("%lld%lld", &N, &M);
         solve();
     }
     return ;
 }