LintCode刷题笔记-- LongestCommonSquence

标签：动态规划

题目描述：

Given two strings, find the longest common subsequence (LCS).

Your code should return the length of LCS.

解题思路：

这一题是非常经典的动态规划问题，在解题思路上可以按照经典的动态规划的解法，这是在系统学习动态规划之后第一个解决的LintCode上的问题：

1.子问题划分

给出两个字符串的A,B,两个字符串长度分别为lenA，lenB，求出两个字符串的LCS：

这划分为子问题：A.subString(0,0) 与B的LCS，在此基础上A.subString(0,1)与B的LCS，依次类推，可以得到A.subString(0,lenA-2), A.subString(0,lenA-1) 与B的LCS。 按照A的方法也同样可以对B在长度上进行分解。这样可以形成字符串A与B长度为lenA*lenB的矩阵，此矩阵为记录状态的“备忘录”。

2.初始状态的定义

对于LCS矩阵的初始状态，对于第一行与第一列相对应的意义为，A与B的第一个元素作为一个长度为1的字符串与对方是否存在公共字符，若存在，所在位置坐标已经后续坐标全部置为1.

3.问题与子问题解的关系

dp[i][j]：字符串的A的子串dp(0,i)与字符串B的子串dp(0,j)之间LCS的长度

dp[i][j]的取值：当A[i] == B[j]，A(0,i)与B(0,j)之间的LCS会较比A(0,i-1)与B(0,j-1)多1，因为多了1位公共字符，LCS的长度自然会增加1。

　　　　　　　 当A[i]!=B[j], A(0,i)与B(0,j)之间的LCS会选择先前公共子串更多的部分作为下一步求解

4.边界条件

当达到A,B两者的最大长度时结束

5.参考代码：

 public int longestCommonSubsequence(String A, String B) {
         int lenA = A.length();
         int lenB = B.length();

         if(lenA == 0 || lenB == 0){
             return 0;
         }

         int[][] dp = new int[lenA][lenB];

         if(A.charAt(0)==B.charAt(0)){
             dp[0][0] = 1;
         }

         for(int i = 1; i < lenA; i++){
             if(B.charAt(0)==A.charAt(i)){
                 dp[i][0] = 1;
             }else{
                 dp[i][0] = dp[i-1][0];
             }
         }
         for(int j = 1; j < lenB; j++){
             if(A.charAt(0)==B.charAt(j)){
                 dp[0][j] = 1;
             }else{
                 dp[0][j] = dp[0][j-1];
             }
         }

         for(int i = 1; i<lenA; i++){
             for(int j = 1; j<lenB; j++){
                 dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                 if(A.charAt(i) == B.charAt(j)){
                     dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                 }

             }
         }
         return dp[lenA-1][lenB-1];
     }