Wannafly挑战赛25 因子 [数论]

一、题意

令 X = n!, 给定一大于1的正整数p 求一个k使得 p ^k | X 并且 p ^(k + 1) 不是X的因子

输入为两个数n, p (1e18>= n>= 10000 >= p >= 2)

二、分析

2.1前置知识：阶乘质因数分解

定理：在n！的标准分解式中，质因数p的指数h为

\[h = \left[ {\frac{n}{p}} \right] + \left[ {\frac{n}{{{p^2}}}} \right] + ... = \sum\limits_{r = 1}^\infty  {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} \]

推论：n！可以由他的质因数表示为

\[n! = \prod\limits_{p \le n} {{p^{\sum {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} }}} \]

2.2本题思路

由题意可得，p的质因数肯定是n！的质因数；所以首先将p做质因数分解，得到p的各个质因数的指数h，再对每一个p的质因数求其在n！中的指数H

那么题中所求的K肯定是每一对H/h的数值中的最小值

\[ans = \arg \min \frac{{{H_i}}}{{{h_i}}}\]

三、代码

 # include <iostream>
 # include <cstdio>
 using namespace std;
 const long long INF = 1e18+;
 long long n,p;
 long long H(long long i)
 {
     long long res = ;
     long long temp = n;
     while(temp)
     {
         res += temp/i;
         temp /= i;
     }
     return res;
 }
 void Solve()
 {
     long long ans = INF;
     for(int i=;i<=p;i++)
     {
         if(p%i == )
         {
             long long h = ;
             while(p%i==)
             {
                 h++;
                 p/=i;
             }
             ans = min(ans,H(i)/h);
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF)
     {
         Solve();
     }
     return ;
 }