把自动机用作 Key-Value 存储

以前只有代码，最近简单写了一点文档： google code 上的链接（总是最新）

• 自动机是什么
• DFA 的最小化
• 将 DFA 用做字典
  • 无环DFA (ADFA, Acyclic DFA)
• 编译
• 内存用量/查询性能
• map 与 set
• 自动机实用程序
• 自动机的 C++接口
  • DFA_Interface
  • DAWG_Interface
• 超级功能
  • 以拼音输入法为例

自动机是什么

这里只讲有穷自动机，自动机的形式化定义，可以参考 wikipedia：

• 自动机
• 有穷状态自动机 (FSA)
• 确定性的有穷自动机 (DFA)
  • 这是本文的重点
• 非确定性的有穷自动机 (NFA)
  • 很多 DFA 的构造需要 NFA 作为媒介

DFA 的最小化

• DFA 的等同
  • 如果两个dfa的状态转移图同构，那么这两个 DFA 等同
• DFA 的等价
  • 如果两个 DFA 能接受的语言集合相同，那么这两个 DFA 等价
  • 等价的 DFA 不一定等同
• 最小化的 DFA
  • 对于任何一个 DFA，存在唯一一个与该 DFA 等价的 MinDFA，该 MinDFA 的状态数是与原 DFA 等价的所有 DFA 中状态数最小的
  • 最小化的 DFA 需要的内存更小
  • 各种优化的 DFA 最小化算法是本软件的核心竞争力之一

将 DFA 用做字典

字典，可以认为就是一个 map<string, Data>，这是最简单直接的表达，在 C++ 标准库中，map是用 RBTree 实现的，当然，也可以用 hash_map(或称为 unordered_map)。这些字典在标准库中都有，不是特别追求cpu和内存效率的话，可以直接拿来时使用。

但是，要知道，对于一般应用，将字典文件（假定是文本文件）加载到 map/hash_map 之后，内存占用量要比字典文件大两三倍。当数据源很大时，是不可接受的，虽然在现在这年代，几G可能都算不上很大，但是，如果再乘以3，可能就是十几二十G了，姑且不论数据加载产生的载入延迟（可能得几十分钟甚至一两个小时）。

用 DFA 存储字典，在很多专门的领域中是一个标准做法，例如很多分词库都用 DoubleArray Trie DFA 存储词库，语言识别软件一般也用 DFA 来存储语音。

无环DFA (ADFA, Acyclic DFA)

用做字典的 DFA 是无环DFA (ADFA, Acyclic DFA)，ADFA 的图是 DAG (有向无环图)。Trie 是一种最简单的 ADFA，同时也是（所有ADFA等价类中）最大的 ADFA。DoubleArray虽然广为人知，但相比 MinADFA，内存消耗太大。

编译

svn checkout http://febird.googlecode.com/svn/trunk/ febird-read-only
cd febird-read-only
make
cd netbeans-cygwin/automata/
make
ll rls/*/*.exe # 有用的是以下几个，后面会讲到详细用法
-rwxrwxr-x 1 user user 13394937 2013-08-08 11:47 rls/dawg/ldzip.exe
-rwxrwxr-x 1 user user  8902422 2013-08-08 16:26 rls/forward_match/aunzip.exe
-rwxrwxr-x 1 user user 22519765 2013-08-08 11:47 rls/forward_match/ldfa_sset.exe
-rwxrwxr-x 1 user user  9050159 2013-08-08 16:26 rls/forward_match/on_key_value.exe
-rwxrwxr-x 1 user user  8994311 2013-08-08 16:26 rls/forward_match/on_suffix_of.exe

内存用量/查询性能

本软件实现了两种 DFA，一种为运行速度优化，另一种为内存用量优化，前者一般比后者快4~6倍，后者一般比前者节省内存30~40%，具体使用哪一种，由使用者做权衡决策。

不同的数据，DFA有不同的压缩率。 对于典型的应用，为内存优化的DFA，压缩率一般在3倍到20之间，相比RBTree/HashMap的膨胀3倍，内存节省就有9倍到60倍！同时仍然可以保持极高的查询速度（keylen=16字节，QPS 在 40万到60万之间），为速度优化的版本，QPS 有 250万。下面是几个性能数据（map1, dwag，仅 set 的话，尺寸会更小）：

size(bytes)		gzip	DFA (small+slow)	DFA (big+fast)	KeyLen	QPS(big+fast)
File1(Query)	226,433,393	96,293,588	101,125,415	170,139,298	16.7	24,000,000
File2(URL)	485,968,345	25,094,568	13,990,737	35,548,376	109.2	900,000

map 与 set

传统上，ADFA 只能用作 set<Key> ，也就是字符串的集合。但是，本软件可以把 ADFA 用作 map<Key, Value>，通过两种方式可以达到这个目标：

1. map1: 扩展 ADFA（从而 DFA 的尺寸会大一点），查找 key 时，同时计算出一个整数 index，该 index 取值范围是 [0, n)，n 是 map.size()。从而，应用程序可以在外部存储一个大小为 n 的数组，用该 index 去数组直接访问 value。
   • 本软件中有一个 utility 类用来简化这个流程
2. map2: 将 Value 编码成 string 形式，然后再生成一个新的 string kv = key + '\t' + value，将 kv 加入 ADFA，在这种情况下，同一个 key 可以有多个 value，相当于 std::multimap<string, Value>，这种方法的妙处在于，如果多个key对应的value相同，这些value就被自动机压缩成一份了！
   • 更进一步，这种方法可以扩展到允许 key 是一个正则表达式！（目前还不支持）

自动机实用程序

本软件包含几个程序，用来从文本文件生成自动机，生成的自动机可以用C++接口访问，这样，就将自动机的存储与业务逻辑完全分离。

• ldfa_sset.exe options < input_text_file

||

options	arguments	comments
-o	输出文件：为 尺寸 优化的自动机	匹配速度较慢，尺寸较小
-O	输出文件：为 速度 优化的自动机	匹配速度很快，尺寸较大
-l	状态字节：为 尺寸 优化的自动机，可取值 4,5,6,7	自动机的每个状态占几个字节，越大的数字表示自动机能支持的最大状态数也越大， 一般5就可以满足大多数需求了
-b	状态字节：为 速度 优化的自动机，可取值 4,5,6,7
-t	无参数	输出文本，仅用于测试
-c	无参数	检查自动机正确性，仅用于测试

• ldzip.exe options < input_text_file

生成扩展的DFA，可以计算 key 的 index 号，对应 map 的第一种实现方式，使用方法同 
ldfa_sset.exe

• aunzip.exe < dfa_binary_file

解压 dfa_binary_file，按字典序将解压结果的文本写到标准输出 stdout ，可以接受基本dfa (由 ldfa_sset.exe 生成的) 和扩展dfa文件(由 ldzip.exe 生成的)

• on_suffix_of.exe text₁ text₂ ... < dfa_binary_file

打印匹配所有 text
_n 的前缀的行 (ldfa_sset.exe 或 ldzip.exe 输入文本的行) 的后缀

• on_key_value.exe text₁ text₂ ... < dfa_binary_file

打印匹配所有 text
_n 的前缀的 Key (ldfa_sset.exe 或 ldzip.exe 输入文本的行) 的 value， 用于测试 map 实现方法2 (Key Value 之间加分隔符)

自动机的 C++接口

本软件使用了 C++11 中的新特性，所以必须使用支持 C++11 的编译器，目前测试过的编译器有 gcc4.7 和 clang3.1。不过为了兼容，我提供了C++98 的接口，一旦编译出了静态库/动态库，C++11 就不再是必需的了。

#include<febird/automata/dfa_interface.hpp>

febird/automata/dfa_interface.hpp

头文件 febird/automata/dfa_interface.hpp 中主要包含以下 class：

DFA_Interface

这个类是最主要的 DFA 接口，对于应用程序，总是从 DFA_Interface::load_from(file) 加载一个自动机（ldfa_sset.exe 或 ldzip.exe 生成的自动机文件），然后调用各种查找方法/成员函数。

• for_each_suffix(prefix, on_suffix[, tr])
  • 该方法接受一个字符串prefix，如果prefix是自动机中某些字符串的前缀，则通过 on_suffix(nth,suffix) 回调，告诉应用程序，前缀是prefix的那些字符串的后缀（去除prefix之后的剩余部分），nth 是后缀集合中字符串的字典序。 tr 是一个可选参数，用来转换字符，例如全部转小写，将 ::tolower 传作 tr 即可
  • 例如：对字符串集合 {com,comp,comparable,comparation,compare,compile,compiler,computer}, prefix=com 能匹配所有字符串(其中nth=0的后缀是空串)，prefix=comp能匹配除com之外的所有其它字符串，此时nth=0的也是空串，而 compare 的后缀 are 对应的 nth=1
• match_key(delim,str,on_match[, tr])
  • 该方法用于实现 map2，delim 是 key,val 之间的分隔符(如 '\t' )，key中不可包含delim，str 是扫描的文本，如果在扫描过程中，发现 str 的长度为 Kn 的前缀 P 匹配某个 key，就将该 key 对应的所有 value 通过 on_match(Kn,idx, value) 回调告诉调用方， idx是同一个key对应的value集合中当前value的字典序。

DAWG_Interface

这个类用来实现 map1，DAWG 的全称是 Directed Acyclic Word Graph，可以在 ADFA 的基础上，在匹配的同时，计算一个字符串在 ADFA 中的字典序号（如果存在的话），同时，也可以从字典序号计算出相应的字符串，时间复杂度都是O(strlen(word))。

• size_t index(string word)
  • 计算 word 的字典序，如果不存在，返回 size_t(-1)
• string nth_word(size_t nth)
  • 从字典序 nth 计算对应的 word，如果 nth 在 [0, n) 之内，一定能得到相应的 word，如果 nth 不在 [0, n) 之内，会抛出异常
• v_match_words(string, on_match[, tr])
  • 依次对 string 的所有前缀计算 index，并通过 on_match(prelen,nth) 回调返回计算结果，prelen是匹配的前缀长度，该函数也有可选的 tr 参数
• longest_prefix(string, size_t*len, size_t*nth[, tr])
  • 相当于 v_match_words 的特化版，只返回最长的那个 prefix

超级功能

以拼音输入法为例

为了保证输入效率，我们需要有一个从 词条拼音 到 词条汉字 的映射表，比如，拼音序列 ZiDongJi 对应的词条是 自动机 ， 自冻鸡 ；从而，逻辑上讲，这是一个 map<string,list<string> >。

假定我们有一个汉语词表，该词表的词条超过千万，每个词条可能是一句话（比如名言警句），并且，因为汉语中存在多音字，从而，包含多个多音字的词条都可能有很多种发音，这个数目在最坏情况下是指数级的，第一个字有 X₁ 个读音，第二个字有 X₂ 个读音，...，n 个字的词条就有 X₁*X₂*X₃*...*X_n 种读音。

如果我们用 HashMap/std::unordered_map 或 TreeMap/std::map 保存这个注音词典，对于普通无多音字的词条，无任何问题。一旦有多音字， X₁*X₂*X₃*...*X_n 可能是一个非常大的数字，几十，几百，几千，几千万都有可能，这完全是不可接受的！一个折衷的办法就是仅选择概率最大的拼音，但很可惜，有些情况下这个拼音可能是错的！

用自动机解决该问题，最简单的方法就是用 string kv = X₁*X₂*X₃*...*X_n + '\t' + 汉字词条 来逐个插入，动态 MinADFA 算法可以保证内存用量不会组合爆炸，但是，除了内存，还有时间，如此逐个展开，时间复杂度也是指数的！

这个问题我想了很久，终于有一天，想出了一个完美的解决办法：

• 在 MinADFA 中加入一个功能：在线性时间内，给一个唯一的前缀，追加一个 ADFA后缀 ，该 ADFA后缀 可以包含 X₁*X₂*X₃*...*X_n 个 word，并且结构还可以任意复杂（最近我的研究发现，该后缀甚至不必是ADFA，可以包含环！）
• 然后，将 string kv = X₁*X₂*X₃*...*X_n + '\t' + 汉字词条 翻转， rev(X₁*X₂*X₃*...*X_n) 构成一个 ADFA， rev(汉字词条) 是一个唯一前缀
• 将所有的词条做这样的处理，就构成一个 DFA({rev(拼音+汉字)}) ，然后再将该 DFA 翻转，得到 NFA(rev(DFA({rev(拼音+汉字)}))，再将该 NFA 转化成 DFA
• 查找时，使用 map2 的方法（DFA_Interface::match_key），因为组合爆炸，不能用 map1

这个方法非常完美！虽然 NFA 转化 DFA 最差情况下是 NSpace(比NP还难) 的，但是在这里，可以证明，这个转化是线性的：O(n)。