nyoj1007(euler 函数)

euler(x)公式能计算小于等于x的并且和x互质的数的个数；

我们再看一下如何求小于等于n的和n互质的数的和， 我们用sum(n)表示；

若gcd(x, a)=1，则有gcd(x, x-a)=1；

证明：假设gcd(x, x-a)=k (k>1)，那么有(x-a)%k=0---1式，x%k=0---2式； 由1式和2式可得 a%k=0---3式； 由2式和3式可得gcd(x, a)=k，与gcd(x, a)=1矛盾，即原式得证；

由此我们可以得知小于x并且与x互质的数必然是成对出现的并且有对应的一对数和为x；

所以有sum(n)=euler(n)/2*n；

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=1007

题意：给出n和m，求满足条件gcd(x, n)>=m的x的x的和，其中1<=x<=n，1<= n, m <= 1e9；

思路：对于任意的x和n，有：x=a*q;

　　　　　　　　　　　　　 n=b*q;

其中q=gcd(x, n)，所以gcd(a, b)=1；

所以对于本题，我们可以枚举符合条件的q, 对于每个q对应的b，euler(b)即为所有符合条件的a的数目；

不过本题要求我们求所有符合条件的x的和，sum(b)是所有符合条件的a的和，x=a*q；对于每个符合条件的q对应的x的和，我们用solve(b)表示；

那么solve(b)=q*sum(b)，累加所有符合条件的q下的solve(b)即为本题答案；

代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define mod 1000000007
 #define MAXN 100000
 using namespace std;

 ll euler(ll x){
     if(x<){
         return ;
     }
     int ans=;
     for(int i=; i*i<=x; i++){
         if(x%i==){
             ans*=i-;
             x/=i;
         }
         while(x%i==){
             x/=i;
             ans*=i;
         }
     }
     if(x>){
         ans*=x-;
     }
     return ans;
 }

 ll solve(ll x){
     if(x==){
         return ;
     }else{
         return euler(x)*x/;
     }
 }

 int main(void){
     ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(), cout.tie();
     int t;
     cin >> t;
     while(t--){
         ll n, m, ans=;
         cin >> n >> m;
         for(int i=; i*i<=n; i++){
             if(n%i==){
                 if(i>=m){
                     ll cnt=n/i;
                     ans+=(i*solve(cnt))%mod;
                 }
                 if(i*i!=n&&n/i>=m){
                     ll cnt=i;
                     ans+=(n/cnt*solve(i))%mod;
                 }
             }
         }
         cout << (ans%mod+mod)%mod << endl;
     }
     return ;
 }