SPOJ839 Optimal Marks（最小割）

题目大概说给一张图，每个点都有权，边的权等于其两端点权的异或和，现已知几个点的权，为了使所有边的边权和最小，其他点的权值该是多少。

很有意思的一道题，完全看不出和网络流有什么关系。

考虑每个未知的点$x$的权的二进制的第$i$位$x_i$，其对边权和的贡献为$\sum_{(x,y)\in E}(2^i\cdot(x_i\ \hat{}\ y_i))=2^i\sum_{(x,y)\in E}(x_i\ \hat{}\ y_i)$，而$x_i$取值是$0$或$1$！

这样问题就明了了：

• 相当于对于每个点中的每一位让它们取0或1
• 对于未知的取0或1花费都为0
• 对于已知的是0或1，那么对应取0或1的花费也是0，而取1或0的花费是INF
• 对于边其两端点如果取值不同则需要额外$2^i$的花费

这样这就是一个经典的二者选其一花费最小的最小割模型了！

另外不需要每个点都拆成最多二进制位数个数的点，这样容量网络的点上万个——因为各个位是独立的，所以可以分开求，即跑二进制位数个数次的网络流。

最后求答案，只需从源点floodfill找到S集合有哪几个点就知道所有点的各个位的取值了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define INF (1<<30)
 #define MAXN 555
 #define MAXM 555*555*2

 struct Edge{
     int v,cap,flow,next;
 }edge[MAXM];
 int vs,vt,NE,NV;
 int head[MAXN];

 void addEdge(int u,int v,int cap){
     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;
     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 }

 int level[MAXN];
 int gap[MAXN];
 void bfs(){
     memset(level,-,sizeof(level));
     memset(gap,,sizeof(gap));
     level[vt]=;
     gap[level[vt]]++;
     queue<int> que;
     que.push(vt);
     while(!que.empty()){
         int u=que.front(); que.pop();
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(level[v]!=-) continue;
             level[v]=level[u]+;
             gap[level[v]]++;
             que.push(v);
         }
     }
 }

 int pre[MAXN];
 int cur[MAXN];
 int ISAP(){
     bfs();
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int u=pre[vs]=vs,flow=,aug=INF;
     gap[]=NV;
     while(level[vs]<NV){
         bool flag=false;
         for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){
                 flag=true;
                 pre[v]=u;
                 u=v;
                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
                 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
                 if(v==vt){
                     flow+=aug;
                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
                         edge[cur[u]].flow+=aug;
                         edge[cur[u]^].flow-=aug;
                     }
                     //aug=-1;
                     aug=INF;
                 }
                 break;
             }
         }
         if(flag) continue;
         int minlevel=NV;
         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
             int v=edge[i].v;
             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
                 minlevel=level[v];
                 cur[u]=i;
             }
         }
         if(--gap[level[u]]==) break;
         level[u]=minlevel+;
         gap[level[u]]++;
         u=pre[u];
     }
     return flow;
 }
 int x[],y[],u[],p[];
 int ans[];
 bool vis[];
 void dfs(int u){
     vis[u]=;
     for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
         int v=edge[i].v;
         if(vis[v] || edge[i].cap==edge[i].flow) continue;
         dfs(v);
     }
 }
 int main(){
     int t,n,m,a,b,k;
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for(int i=; i<m; ++i){
             scanf("%d%d",x+i,y+i);
         }
         scanf("%d",&k);
         for(int i=; i<k; ++i){
             scanf("%d%d",u+i,p+i);
         }
         memset(ans,,sizeof(ans));
         for(int i=; i<; ++i){
             vs=; vt=n+; NV=vt+; NE=;
             memset(head,-,sizeof(head));
             for(int j=; j<m; ++j){
                 addEdge(x[j],y[j],);
                 addEdge(y[j],x[j],);
             }
             for(int j=; j<k; ++j){
                 if((p[j]>>i)&) addEdge(vs,u[j],INF);
                 else addEdge(u[j],vt,INF);
             }
             ISAP();
             memset(vis,,sizeof(vis));
             dfs(vs);
             for(int j=; j<=n; ++j){
                 if(vis[j]) ans[j]+=(<<i);
             }
         }
         for(int i=; i<=n; ++i){
             printf("%d\n",ans[i]);
         }
     }
     return ;
 }