【OI】线性筛
如何查找一个范围内的所有素数?
可以是从1~n挨个判断n%i 是否 == 0,也可以从 1~sqr(n) 一个个判断。
相信你们也听说过埃氏筛法,是使用每一个数的倍数筛掉合数!但是!每一个合数要被筛多次!这就给了我们优化的可乘之机!
它叫做线性筛,顾名思义,时间复杂度是线性的。
我们都知道,线性的复杂度已经非常优秀了,接下来我们的目的就是如何让每一个合数只被筛一次。
下面记住这条线性筛的原理:
每个合数只被它的最小质因子筛一次
每个合数只被它的最小质因子筛一次
每个合数只被它的最小质因子筛一次
重要的事情说三遍!!!
#include<iostream>
#include<cstdio> const int MaxN = 20025; bool notp[MaxN]; int prime[MaxN];
int tot; int main(){ int x;
scanf("%d",&x); for(int i = 2; i <= x; i++){
if(notp[i] == 0){
prime[++tot] = i; } for(int j = 1; j <= tot; j++){
if(i * prime[j] > x)
break; notp[i*prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0)
break; } } for(int i = 1; i <= tot; i++){
printf("%d ",prime[i]);
} return 0;
}
看起来非常简短,对不对?
下面解释一下这段代码:
输入x,求0~x区间中的所有素数。
接下来,是2~x的枚举,为什么从2开始相信各位也都明白。
notp数组的意思是"is not a prime",不是一个质数,值为0时代表它是一个质数。(在开始我们已经把它默认设置为全为素数,尽管事实不是那样)
如果发现一个数"is not not a prime"(=="is a prime)就把它放到我们的素数数组里,至于为什么这么做稍后解答。(而且,我们显然可以看出这个数组具有单调递增的性质)
接下来我们就循环我们的素数数组,对于每个元素筛去它的质数倍。
相信 if ( i * prime[j] > x) break; 大家都理解,下面就是标记它是一个素数。
接下来就是重点!
线性筛全部的Knowledge都凝聚在这一句话!if ( i % prime[j] == 0 ) break;
它意味着,只有最小的质因数才能筛去其它的数。
因为,如果 i % prime[j] == 0 的话,这就是说 i 拥有一个最小的质因数 prime[j] ,原因有两条:①我们之前没有触发过 i % prime[j] == 0,那么就是说,之前的 prime[1~j]都不是i的任何因数。
② i % prime[j] == 0 意味着, i * prime[j] 等同于 prime[j] * i/prime[j] * prime[j] ,其中所有数均为整数,最小质因子就是 prime[j]。这违反了我们在一开始的原理:
每个合数只被它的最小质因子筛一次
而我们通过找规律发现,i * prime[j] 的最小质因子永远是素数序列中的prime[j]。
(例如,素数序列是 2,3,正在枚举4,4*2=8,最小质因子是2;素数序列是2,3,正在枚举3,2*3=6,3*3=9,2和3都是其中的最小质因子)
那么,接下来我们要注意一个事情。为什么 if( i % prime[j] == 0 ) break; 要放在 notp[i * prime[j]] = 1; 后面呢?难道不能放在它前面吗?
刚刚我解释过的原因①,在触发 if( i % prime[j] == 0 ) break; 意味着prime[j]是i最先遇到的质因子,并且我们知道某一个数的某个因子一定小于等于它本身,所以显而易见,我们的素数序列包括到i(无论i是否是质数)的所有质数(如果i是质数,那么包括i)。我们之前也说过这个质数序列是单调递增的,那么prime[j]就是 i 的最小质因子!
而我们之所以在筛完 i * prime[j] 之后才运行这个条件判断,是因为 i % prime[j] 第一次 == 0 的时候,prime[j]是i的最小质因子!如果这里不break,那么下一次 i % prime[k] == 0的时候,显而易见,prime[k]不是i的最小质因子,这违反了我们在开头给出的原理。为了避免某些合数将来被筛第二次,所以我们这里直接break,把筛掉剩下 i * prime[x] 的事情交给之后的质数序列去做。这样,就可以保证每个质数只被筛一次。
最后输出质数序列,相信各位都明白。
【OI】线性筛的更多相关文章
- 2018 南京网络预赛Sum - 线性筛
题意 链接 定义 $f(x)$ 为满足以下条件的有序二元组 $(a, b)$ 的方案数(即 $(a, b)$ 与 $(b, a)$ 被认为是不同的方案): $x= ab$ $a$ 和 $b$ 均无平方 ...
- bzoj2693--莫比乌斯反演+积性函数线性筛
推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和 ...
- BZOJ 2693: jzptab [莫比乌斯反演 线性筛]
2693: jzptab Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194 Solved: 455[Submit][Status][Discu ...
- BZOJ 2818: Gcd [欧拉函数 质数 线性筛]【学习笔记】
2818: Gcd Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436 Solved: 1957[Submit][Status][Discuss ...
- 【BZOJ-4514】数字配对 最大费用最大流 + 质因数分解 + 二分图 + 贪心 + 线性筛
4514: [Sdoi2016]数字配对 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 726 Solved: 309[Submit][Status ...
- 洛谷P3383 【模板】线性筛素数
P3383 [模板]线性筛素数 256通过 579提交 题目提供者HansBug 标签 难度普及- 提交 讨论 题解 最新讨论 Too many or Too few lines 样例解释有问题 ...
- 【BZOJ-4407】于神之怒加强版 莫比乌斯反演 + 线性筛
4407: 于神之怒加强版 Time Limit: 80 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 241 Solved: 119[Submit][Status][Discu ...
- BZOJ-2186 沙拉公主的困惑 线性筛(筛筛筛)+线性推逆元
2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 2417 Solved: 803 [Submit][St ...
- Bzoj 2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 乘法逆元,线性筛,欧拉函数,数论
2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MBSubmit: 2560 Solved: 857[Submit][St ...
随机推荐
- java was started but returned exit code =-805306369的处理方法
Myeclipse出现java was started but returned exit code =-805306369的错误,如图: 解决方法: 换个workspaces:换个工作目录,估计估计 ...
- React Components之间的通信方式了解下
先来几个术语: 官方 我的说法 对应代码 React element React元素 let element=<span>A爆了</span> Component 组件 cla ...
- [LUOGU] P3354 [IOI2005]Riv 河流
题目描述 几乎整个Byteland王国都被森林和河流所覆盖.小点的河汇聚到一起,形成了稍大点的河.就这样,所有的河水都汇聚并流进了一条大河,最后这条大河流进了大海.这条大河的入海口处有一个村庄--名叫 ...
- [Python3网络爬虫开发实战] 1.5.3-redis-py的安装
对于Redis来说,我们要使用redis-py库来与其交互,这里就来介绍一下它的安装方法. 1. 相关链接 GitHub:https://github.com/andymccurdy/redis-py ...
- 06-看图理解数据结构与算法系列(AVL树)
AVL树 AVL树,也称平衡二叉搜索树,AVL是其发明者姓名简写.AVL树属于树的一种,而且它也是一棵二叉搜索树,不同的是他通过一定机制能保证二叉搜索树的平衡,平衡的二叉搜索树的查询效率更高. AVL ...
- 将json格式转为url参数格式的方法(xjl456852整理修改)
测试页面: <html> <head> <script type="text/javascript" src="jquery-1.11.3. ...
- [luoguP1033] 自由落体(模拟?)
传送门 这不能算是数论题... 卡精度这事noip也做的出来.. 代码 #include <cmath> #include <cstdio> int n, ans; doubl ...
- csu - 1566: The Maze Makers (bfs)
http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1566 题意还是蛮难懂的,至少对于我来说,需要认真读题. 输入矩阵的每一个数字换成2进制后,顺时针围 ...
- hdu - 1072 Nightmare(bfs)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1072 遇到Bomb-Reset-Equipment的时候除了时间恢复之外,必须把这个点做标记不能再走,不然可能造 ...
- poj_3006_Dirichlet's Theorem on Arithmetic Progressions_201407041030
Dirichlet's Theorem on Arithmetic Progressions Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submi ...