【OI】线性筛

如何查找一个范围内的所有素数？

可以是从1~n挨个判断n%i 是否 == 0，也可以从 1~sqr(n) 一个个判断。

相信你们也听说过埃氏筛法，是使用每一个数的倍数筛掉合数！但是！每一个合数要被筛多次！这就给了我们优化的可乘之机！

它叫做线性筛，顾名思义，时间复杂度是线性的。

我们都知道，线性的复杂度已经非常优秀了，接下来我们的目的就是如何让每一个合数只被筛一次。

下面记住这条线性筛的原理：

每个合数只被它的最小质因子筛一次

每个合数只被它的最小质因子筛一次

每个合数只被它的最小质因子筛一次

重要的事情说三遍！！！

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int MaxN = 20025;

bool notp[MaxN];

int prime[MaxN];
int tot;

int main(){

	int x;
	scanf("%d",&x);

	for(int i = 2; i <= x; i++){
		if(notp[i] == 0){
			prime[++tot] = i;

		}

		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(i * prime[j] > x)
				break;

			notp[i*prime[j]] = 1;

			if(i % prime[j] == 0)
				break;

		}

	}

	for(int i = 1; i <= tot; i++){
		printf("%d ",prime[i]);
	}

	return 0;
}

　　

看起来非常简短，对不对？

下面解释一下这段代码：

输入x，求0~x区间中的所有素数。

接下来，是2~x的枚举，为什么从2开始相信各位也都明白。

notp数组的意思是"is not a prime"，不是一个质数，值为0时代表它是一个质数。（在开始我们已经把它默认设置为全为素数，尽管事实不是那样）

如果发现一个数"is not not a prime"(=="is a prime)就把它放到我们的素数数组里，至于为什么这么做稍后解答。（而且，我们显然可以看出这个数组具有单调递增的性质）

接下来我们就循环我们的素数数组，对于每个元素筛去它的质数倍。

相信 if ( i * prime[j] > x) break; 大家都理解，下面就是标记它是一个素数。

接下来就是重点！

线性筛全部的Knowledge都凝聚在这一句话！if ( i % prime[j] == 0 ) break;

它意味着，只有最小的质因数才能筛去其它的数。

因为，如果 i % prime[j] == 0 的话，这就是说 i 拥有一个最小的质因数 prime[j] ，原因有两条：①我们之前没有触发过 i % prime[j] == 0，那么就是说，之前的 prime[1~j]都不是i的任何因数。

② i % prime[j] == 0 意味着， i * prime[j] 等同于 prime[j] * i/prime[j] * prime[j] ，其中所有数均为整数，最小质因子就是 prime[j]。这违反了我们在一开始的原理：

每个合数只被它的最小质因子筛一次

而我们通过找规律发现，i * prime[j] 的最小质因子永远是素数序列中的prime[j]。

（例如，素数序列是 2,3，正在枚举4，4*2=8，最小质因子是2；素数序列是2，3，正在枚举3，2*3=6，3*3=9，2和3都是其中的最小质因子）

那么，接下来我们要注意一个事情。为什么 if( i % prime[j] == 0 ) break; 要放在 notp[i * prime[j]] = 1; 后面呢？难道不能放在它前面吗？

刚刚我解释过的原因①，在触发 if( i % prime[j] == 0 ) break; 意味着prime[j]是i最先遇到的质因子，并且我们知道某一个数的某个因子一定小于等于它本身，所以显而易见，我们的素数序列包括到i（无论i是否是质数）的所有质数（如果i是质数，那么包括i）。我们之前也说过这个质数序列是单调递增的，那么prime[j]就是 i 的最小质因子！

而我们之所以在筛完 i * prime[j] 之后才运行这个条件判断，是因为 i % prime[j] 第一次 == 0 的时候，prime[j]是i的最小质因子！如果这里不break，那么下一次 i % prime[k] == 0的时候，显而易见，prime[k]不是i的最小质因子，这违反了我们在开头给出的原理。为了避免某些合数将来被筛第二次，所以我们这里直接break，把筛掉剩下 i * prime[x] 的事情交给之后的质数序列去做。这样，就可以保证每个质数只被筛一次。

最后输出质数序列，相信各位都明白。