[vijos1891]学姐的逛街计划

                                                                

学姐的逛街计划

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描述

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doc 最近太忙了, 每天都有课. 这不怕, doc 可以请假不去上课.
偏偏学校又有规定, 任意连续 n 天中, 不得请假超过 k 天.

doc 很忧伤, 因为他还要陪学姐去逛街呢.

后来, doc发现, 如果自己哪一天智商更高一些, 陪学姐逛街会得到更多的好感度.
现在 doc 决定做一个实验来验证自己的猜想, 他拜托 小岛 预测出了 自己 未来 3n 天中, 每一天的智商.
doc 希望在之后的 3n 天中选出一些日子来陪学姐逛街, 要求在不违反校规的情况下, 陪学姐逛街的日子自己智商的总和最大.

可是, 究竟这个和最大能是多少呢?

格式

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输入格式

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第一行给出两个整数, n 和 k, 表示我们需要设计之后 3n 天的逛街计划, 且任意连续 n 天中不能请假超过 k 天.
第二行给出 3n 个整数, 依次表示 doc 每一天的智商有多少. 所有数据均为64位无符号整数

输出格式

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输出只有一个整数, 表示可以取到的最大智商和.

样例1

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样例输入1

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样例输出1

限制

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对于 20% 的数据, 1 <= n <= 12 , k = 3.
对于 70% 的数据, 1 <= n <= 40 .
对于 100% 的数据, 1 <= n <= 200 , 1 <= k <= 10.

                      

分析：

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可以记第i天去不去逛街为a[i],第i天智商为val[i]；

设：

p[1] = a[1] + a[2] + …… + a[n] <= k；

p[2] = a[2] + a[3] + …… + a[n + 1] <= k

……

p[n * 2 + 1] = a[n * 2 + 1] + a[n * 2 + 2] + …… + a[3 * n] <= k

然后添加辅助变量y[i]，设q[i] = p[i] + y[i] = k

可得：

q[1] = p[1] +y[1] = k 

q[2] = p[2] +y[2] = k

……

q[n * 2 + 1] = p[n * 2 + 1] +y[n * 2 + 1] = k

添加 辅助变量 q[0] = 0，q[n * 2 + 2] = 0

依次相减得到：

q[1] - q[0] = a[1] + a[2] + …… + a[n] + y[1] = k; ---- 1

q[2] - q[1] = a[n + 1] - a[1] + y[2] - y[1] = 0; ----2

q[3] - q[2] = a[n + 2] - a[2] + y[3] - y[2] = 0;----3

……

q[n * 2 + 2] - q[n * 2 + 1] = - a[n * 2 + 1] - a[n * 2 + 2] - …… - a[3 * n] - y[n * 2 + 1] = -k;-----n * 2 + 2

可以发现每一个变量都在等式中出现了两次，并且一次为正，一次为负，正相对于网络流中的流量守恒，流进等于流出（实际流量即为变量的值）

于是我们可以把每个等式看成一个点。把源点和第一个点连流量为k，花费为0。汇点和最后一个点连流量为k，花费为0；

对于每一个a[i]把它在等式中为正的点连向它在等式中为负的点，流量为1，花费为-val[i]。（因为求最大费用最大流，花费取负数后答案再倒回来就行）

对于每一个y[i]把它在等式中为正的点连向它在等式中为负的点，流量为k，花费为0。

然后求一遍最小费用最大流，答案取相反数（这样变成了最大费用最大流），就为我们要的答案。

贴上AC代码：

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 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 using namespace std;
 const int N = 1e4;
 const int M = 4e5;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 using namespace std;
 struct Edge
 {
     int from, to, cap, flow, cost, next;
 };
 Edge edge[M];
 int head[N], inde,pre[N], dist[N];
 bool vis[N];
 int n,k;
 void init()
 {
     inde = ;
     memset(head, -, sizeof(head));
 }
 void AddEdge(int u, int v, int w, int c)
 {
     Edge E1 = {u, v, w, , c, head[u]};
     edge[inde] = E1;
     head[u] = inde++;
     Edge E2 = {v, u, , , -c, head[v]};
     edge[inde] = E2;
     head[v] = inde++;
 }
 bool SPFA(int s, int t)
 {
     queue<int> Q;
     memset(dist, INF, sizeof(dist));
     memset(vis, false, sizeof(vis));
     memset(pre, -, sizeof(pre));
     dist[s] = ;
     vis[s] = true;
     Q.push(s);
     while(!Q.empty())
     {
         int u = Q.front();
         Q.pop();
         vis[u] = false;
         for(int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next)
         {
             Edge E = edge[i];
             if(dist[E.to] > dist[u] + E.cost && E.cap > E.flow)
             {
                 dist[E.to] = dist[u] + E.cost;
                 pre[E.to] = i;
                 if(!vis[E.to])
                 {
                     vis[E.to] = true;
                     Q.push(E.to);
                 }
             }
         }
     }
     return pre[t] != -;
 }
 void MCMF(int s, int t, int &cost, int &flow)
 {
     flow = ;
     cost = ;
     while(SPFA(s, t))
     {
         int Min = INF;
         for(int i = pre[t]; i != -; i = pre[edge[i^].to])
         {
             Edge E = edge[i];
             Min = min(Min, E.cap - E.flow);
         }
         for(int i = pre[t]; i != -; i = pre[edge[i^].to])
         {
             edge[i].flow += Min;
             edge[i^].flow -= Min;
             cost += edge[i].cost * Min;
         }
         flow += Min;
     }
 }
 int cnt,s,t;
 int node[],val[];
 int st[],en[];
 void getMap(){
     s = ++cnt;t = ++cnt;
     for(int i = ;i <= n *  + ;i++){
         node[i] = ++cnt;
     }for(int i = ;i <=  * n;i++)scanf("%d",&val[i]);
     AddEdge(s,node[],k,);
     AddEdge(node[n *  + ],t,k,);
     for(int i = ;i <= n;i++)st[i] = node[];
     for(int i = n + ;i <=  * n;i++)st[i] = node[i - n + ];
     for(int i = ;i <=  * n;i++)en[i] = node[i + ];
     for(int i =  * n + ;i <=  * n;i++)en[i] = node[n *  + ];
     for(int i = ;i <=  * n;i++)AddEdge(st[i],en[i],,-val[i]);
     for(int i = ;i <=  * n + ;i++)AddEdge(node[i],node[i + ],k,);
 }
 int main()
 {
       scanf("%d %d",&n,&k);
         init();
         getMap();
         int cost, flow;
         MCMF(s,t, cost, flow);
         printf("%d\n",-cost);
     return ;
 }