CF662 C. Binary Table

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题目大意：

给定一个\(n\times m\)的表格\((n\leqslant 20,m\leqslant 10^5)\)

每个表格中有\(0/1\)，每次可以将一行或者一列翻转，问表格中最少有多少个1

---

首先\(n\)很小，状压是肯定躲不掉了……

然后我们发现，只要确定了翻转一些行，那么答案必然唯一确定（每列取\(\min\{Num_0,Num_1\}\)）

于是我们设\(f[i]\)表示翻转行状态为\(i\)的答案

统计答案的时候，相同状态的列是可以合并的，所以我们设\(C[i]\)表示列状态为\(i\)的列个数

然后我们假定当前列状态为\(i\)，翻转的行状态为\(S\)，那么翻转后状态就为\(i\oplus S\)

然后对于每一列的任意状态\(i\)，我们都知道其答案，为\(\min\{Num_0,Num_1\}\)，预处理为\(g[i]\)

那么答案即为\(f[k]=\sum\limits_{i\oplus j=k}C[i]\times g[j]\)

FWT优化xor卷积即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())   if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
void FWT(ll *a,int n,int type){
	for (int i=2;i<=n;i<<=1){
		for (int j=0;j<n;j+=i){
			for (int k=0;k<i>>1;k++){
				ll x=a[j+k],y=a[j+k+(i>>1)];
				a[j+k]=x+y,a[j+k+(i>>1)]=x-y;
				if (!~type)	a[j+k]>>=1,a[j+k+(i>>1)]>>=1;
			}
		}
	}
}
ll f[(1<<20)+10],A[(1<<20)+10],B[(1<<20)+10];
char s[25][N+10];
int main(){
	int n=read(),m=read();ll Ans=inf;
	for (int i=0;i<n;i++)	scanf("%s",s[i]);
	for (int j=0;j<m;j++){
		int sta=0;
		for (int i=0;i<n;i++)	sta=(sta<<1)+s[i][j]-'0';
		A[sta]++;
	}
	for (int i=1;i<1<<n;i++)	B[i]=B[i-lowbit(i)]+1;
	for (int i=0;i<1<<n;i++)	B[i]=min(B[i],n-B[i]);
	FWT(A,1<<n,1),FWT(B,1<<n,1);
	for (int i=0;i<1<<n;i++)	f[i]=A[i]*B[i];
	FWT(f,1<<n,-1);
	for (int i=0;i<1<<n;i++)	Ans=min(Ans,f[i]);
	printf("%lld\n",Ans);
	return 0;
}