UVa 11582 Colossal Fibonacci Numbers! 【大数幂取模】

题目链接：Uva 11582 [vjudge]

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

题意

输入两个非负整数a、b和正整数n（0<=a,b<=2^64,1<=n<=1000），让你计算f（a^b）对n取模的值，当中f（0） = 0，f（1） =  1。且对随意非负整数i。f（i+2）= f（i+1）+f（i）。

分析

全部的计算都是对n取模。设F(i) =f（i）mod n， 非常easy发现，F（x）是具有周期性的，由于对N取模的值最多也就N个，当二元组（F(i-1)，F(i)）反复的时候。整个序列也就反复了。周期i – 1啊，自己能够找组小的数据研究研究，就能够发现这个规律了。

周期最大会有多大呢？因为余数最多也就N个。那么最多N^2就会反复，全然能够才时限内攻克了。

剩下的知识就是针对高速幂取模了，这个在我另外一篇博客《超级高速幂【费马小定理】+【高速幂取模】》里面有比較具体的介绍。

參考代码

/****************************>>>>HEADFILES<<<<****************************/
#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
/****************************>>>>>DEFINE<<<<<*****************************/
#define fst             first
#define snd             second
#define root            1,N,1
#define lson            l,mid,rt<<1
#define rson            mid+1,r,rt<<1|1
#define PB(a)           push_back(a)
#define MP(a,b)         make_pair(a,b)
#define CASE(T)         for(scanf("%d",&T);T--;)
#define FIN             freopen("input.txt","r",stdin)
#define FOUT            freopen("output.txt","w",stdout)
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
//typedef unsigned __int64 ull;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int>   pii;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1000 + 5;
const int maxm = 20000 + 5;
/****************************>>>>SEPARATOR<<<<****************************/
int T, N;
ull a, b;
int ans[maxn*maxn];
int Fibo(const int& MOD)
{
    int ret;
    ans[0] = 0, ans[1] = 1 % MOD;
    int i = 2;
    while(1)
    {
        ans[i] = (ans[i - 1] + ans[i - 2]) % MOD;
        if(ans[i - 1] == 0 && ans[i] == 1 % MOD) break;
        i++;
    }
    return i - 1;
}
int pow_mod(ull x, ull y, int MOD)
{
    ull ret = 1;
    while(y)
    {
        if(y & 1) ret = (ret * x) % MOD;
        x = (x * x) % MOD;
        y >>= 1;
    }
    return (int)ret;
}
int main()
{
//    FIN;
    CASE(T)
    {
        scanf("%llu %llu %d",&a,&b,&N);
        if(a == 0 || N == 1)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        int Cyc = Fibo(N);
        int pos = pow_mod(a % Cyc, b, Cyc);
        printf("%d\n",ans[pos]);
    }
    return 0;
}