Robert 的军队

题目描述

Winter is coming.

Robert 是个昏庸的君主,整日沉迷于吃喝玩乐,终于,当寒冬降临,他不得不组

织军队来对抗敌人。

尽管如此,他仍然是个喜欢玩耍的人,还有点强迫症,他希望选出的军队的所有

人的身高的方差最小,并且选出的人数 x 要满足 L<=x<=R,因为太少了他怕不够

气势,太多了他怕会控制不当。

现在给出 n 个士兵的高度,L 和 R,Robert 找到了聪明的你,希望你帮他解决这

个难题。

输入

第一行三个整数,依次是 n,L,R

第二行 n 个正整数,表示每个士兵的高度 h

输出

一行,表示最小的方差,保留三位小数即可。

样例输入

5 3 4

3 2 4 1 4

样例输出

0.222

样例解释

数据范围

对于20%的数据，1<=n<=20

对于50%的数据，1<=n<=2000,R-L+1<=2000

对于100%的数据，1<=L<=R<=n<=100000,1<=h[i]<=1000000000

【题解】

20%

1<=n<=20显然直接枚举每个士兵选不选，时间O(n*2^n)

50%

我们要做到50分，就首先要得到一个结论：我们先将h从小到大排序，那么我们选择的序列一定是连续的一段。



由t>0和n>=1，那么后者的方差一定是大于等于前者的，这个存在传递性，所以得证。

于是就可以枚举开头，枚举长度，然后算一下就好了。

100%

对于100分的算法，我们需要另外一个结论：任意一个序列，它加上一个新元素不会使得其方差更优。

证明与上面类似我就不说了。

然后就是说我们只用求长度为L的序列中的方差的最大值，于是直接扫一遍计算就好了。

当然，上面是出题人的题解，有点麻烦，我自己来搞一个。

拆一波方差公式



然后这个公式就可以维护前缀和了。

于是，从1开始枚举长度为L的子序列即可（当然要以前面题解给出的两个结论为基础）。O（1）询问跑的飞快。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int MAX=100005;
int n,L,R;
double h[MAX],sum[MAX],tot[MAX];
double ans=2147483646.0;
void calc(int l,int r)
{
    double res;
    res=(tot[r]-tot[l-1])/(L*1.0)-((sum[r]-sum[l-1])/(L*1.0))*((sum[r]-sum[l-1])/(L*1.0));//就是方差公式拆完的结果
    ans=min(ans,res);
}
void solve()
{
    fp(i,L,n)//从1开始枚举长度为L的子序列
        calc(i-L+1,i);
}
il int gi()
{
  re int x=0;
  re short int t=1;
  re char ch=getchar();
  while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return x*t;
}
int main()
{
    freopen("army.in","r",stdin);
    freopen("army.out","w",stdout);
    n=gi();L=gi();R=gi();
    fp(i,1,n) h[i]=gi();
    sort(h+1,h+1+n);
    fp(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+h[i],tot[i]=tot[i-1]+h[i]*h[i];//sum存ai的前缀和，tot存ai^2的前缀和
    solve();
    printf("%.3lf\n",ans);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}