经典算法mark
在平时找工作的时候,或多或少会遇到一些算法问题,很多都是比较经典或者网上已经流传很久的。只是我们没有接触过,所以不知道怎么解决。
在这儿,我自己总结一些我遇到的一些经典算法,给自己增加一点记忆,也给需要的朋友看到学习一下。
1. 倒水问题
如题:一个容量为5升的杯子和一个容量为3升的杯子,水不限使用,要求精确得到4升水。
这类题一般会有两种出题方式:
A.简答
这儿先给出简答的答案:其实结果又很多种,这儿给出倒水次数最少的一种。
B.编程实现
解法也比较多,我首先想到的DFS(深度优先)搜索,每次我们有6种选择,只要不断的尝试下去,总可以搜索完所有的状态,找到一个解。也可以用宽度优先搜索(BFS)。
程序代码后续补上。
后续也有其他版本的倒水问题,如:有三个容器,分别为20升,13升,7升。20升的容器装满水,要使20升和13升的容器里分别装10水,如何做到?
简答的步骤和前面类似:
2.猴子选大王问题
题目:
n只猴子围坐成一个圈,按顺时针方向从1到n编号。
然后从1号猴子开始沿顺时针方向从1开始报数,报到m的猴子出局,再从刚出局猴子的下一个位置重新开始报数,
如此重复,直至剩下一个猴子,它就是大王。
设计并编写程序,实现如下功能:
(1) 要求由用户输入开始时的猴子数$n、报数的最后一个数$m。
(2) 给出当选猴王的初始编号。
这个题直接想到的就是循环链表实现,或者数组实现。
下面直接贴出代码:
解法1:
<?php
$arr = array('1','2','3','4','5','6','7');//示例数组
echo '<pre>The King is :<br/>';
print_r(king($arr,11));
function king($arr,$count){
$i = 1;//从1开始
while(count($arr) > 1){
if($i%$count == 0){//用求余,计算数到的位,如果求余为0,所数到的位消除,压出数组中
unset($arr[$i-1]);
}else{//数到的位不是结束,把这一位放到数组末尾,并消掉这个位
array_push($arr,$arr[$i-1]);
unset($arr[$i-1]);
}
$i++;//转移到下一个数组元素
15 }
return $arr;
}
这种实现方式是使用数组,如果当前数不是选中的,则将其移到数组最后。算法复杂度较高,当数据量较大时,处理效率低。
解法2:
/**
*
* @param int $n
* 开始时的猴子数量
* @param int $m
* 报道的最后一个数
* (报到这个数的猴子被淘汰,然后下一个猴子重新从①开始报数)
* @return int 猴子的初始编号
*/
function monkeySelectKing($n, $m)
{
// 猴子的初始数量不能小于2
if ($n < 2) {
return false;
} $arr = range(1, $n);
// 将猴子分到一个数组里, 数组的值对应猴子的初始编号
$unsetNum = 0;
// 定义一个变量,记录猴子的报数 for ($i = 2; $i <= $n * $m; $i ++)
// 总的循环次数不知道怎么计算,
{
// 不过因为循环中设置了return,所以$m*$len效率还可以
foreach ($arr as $k => $v) {
$unsetNum ++; // 每到一个猴子, 猴子报数+1 // 当猴子的报数等于淘汰的数字时:淘汰猴子(删除数组元素)
// 报数归0(下一个猴子从1开始数)
if ($unsetNum == $m) {
// echo "<pre>";//打开注释,可以看到具体的淘汰过程
// print_r($arr);
unset($arr[$k]);
// 淘汰猴子
$unsetNum = 0;
// 报数归零
if (count($arr) == 1)
// 判断数组的长度, 如果只剩一个猴子, 返回它的值
{
return reset($arr);
}
}
}
}
} var_dump(monkeySelectKing(100, 2));
这种算法实现的复杂度为O(nm);当nm比较大时,这个效率就比较低。
更简单的实现方式:也叫约瑟夫环的数学解法
原理:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
最后得出的解法就是:
/**
* 约瑟夫环的数学解法
*/
function yuesefu($n,$m) {
$r=0;
for($i=2; $i<=$n; $i++) { $r=($r+$m)%$i;
}
return $r+1;
}
print_r(yuesefu(100,2));
有关约瑟夫环的数学解法来自于:http://www.cppblog.com/Victordu/archive/2008/02/22/43082.html
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