一、定义:

  卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列:

      

二、变形:

  首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式:

    h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

  可化简为1阶递推关系: h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)  (n>=2)

   想看证明的点这里:https://blog.csdn.net/guoyangfan_/article/details/82888872

  通项公式: 1 、h(n)=C(2n,n)/(n+1)

        2、 h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)

三、应用模型:

  1、定义型:

    求凸n边形的三角形划分方案数:

    

    求有N个节点的二叉树的形态个数:

       设f(n)表示有n个节点的二叉树的形态的个数,f(N)即为答案。

       首先必然有一个根节点。设根节点左边有k个节点,则右边有N-k-1个节点,此时f(N)=f(k)*f(N-k-1)。由于k可以取到0~N-1,

      由加法原理得f(N)=f(0)*f(N-1)+f(1)*f(N-2)+...+f(N-1)*f(0),符合卡特兰数的定义形式,故f(N)即为卡特兰数的hN项。

  2、通项公式型:

     出栈次序:
        一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的合法出栈序列?
          设一次进栈操作为‘0’,一次出栈操作为‘1’。
          首先发现每一个合法出栈序列有且对应唯一个合法的01串,这个01串长度为2n,含有n个‘0’和n个‘1’。考虑这个01串,发现它必须满足对每一位来说,从它开
       始往前数,0的个数要大于等于1的个数。在2n位上填入n个0的方案数为 。而从 中减去不符合要求的方案数即为所求答案。
          考虑不合法的方案:在从左往右扫时,必然会在某一个奇数位2p+1上首先出现p+1个1,和p个0。此后的 [2p+2,2n]上的2n−(2p+1)位有n−p个0, n−p−1个1。
       如若把后面这部分2n−(2p+1)位的1与0互换,使之成为n−p个1,n−p−1个0,结果得1个由n+1个1和n−1个0组成的2n位数,即一个不合法的方案必定对应着一个由n+1
          个1和n-1个0组成的一个排列。
           再反过来看,任意一个由n+1个1和n-1个0组成的一个排列,由于1的个数多了2个,且2n为偶数,所以必定在某个奇数位2p+1上出现1的个数超过0的个数。同
       样把后面部分1和0互换,成为了由n个0和n个1组成的2n位数。由此发现,每一个不合法的方案总是与唯一一个由n+1个1和n−1个0组成的排列一一对应。
           于是,不合法的方案数就可以写作:
           故答案=

    上题的各种变式:

      找零钱(找一半):有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?  

      球盒问题:球分两种颜色,黑色和白色分别各有n只,盒子数量和球的个数相同,每个盒子里面只能放一只球,并且必须满足如下限制,即每一个白球必须和一只黑球配对,有多少种情况?

      三角网格:
          
        形如这样的直角三角形网格,从左上角开始,只能向右走和向下走,只能走红色的方格,问总共有多少种走法?
      添加括号:矩阵连乘: ,共有(n+1)项,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?或者说:有n对括号,可以并列或嵌套排列,共有多少种情况?
     这些题的本质:“n个0和n个1组成一个2n位的2进制数,要求从左到右扫描时,1的累计数始终都小于等于0的累计数,求满足条件的数有多少?”
        画个表格整理一下:
      

        同列事件可视为等价,且在题目要求中事件1的次数/大小需要始终大于事件2。像这样的题都可以用卡特兰数的通项公式解。

      

 

   

      

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