TopK问题，数组中第K大(小)个元素问题总结

问题描述：

　　在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

面试中常考的问题之一，同时这道题由于解法众多，也是考察时间复杂度计算的一个不错的问题。

1，选择排序

　　利用选择排序，将数组中最大的元素放置在数组的最前端，然后第k次选择的最大元素就是第K大个元素，直接根据索引返回结果即可。

public class Select {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{5,3,2,1,4,7,8,10,6,9};
        System.out.println(findKthLargest(arr, 3));
    }
    private static int findKthLargest(int[] arr, int k){
        if(k <= 0 || k > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException("k error");
        for(int i = 0; i < k; ++i){
            int maxNum = Integer.MIN_VALUE;
            int maxIndex = -1;
            for(int j = i; j < arr.length; ++j){
                if(arr[j] > maxNum){
                    maxNum = arr[j];
                    maxIndex = j;
                }
            }
            swap(arr, maxIndex, i);
        }
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        return arr[k-1];
    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
}

　　结果：

[10, 9, 8, 1, 4, 7, 2, 5, 6, 3]
8

　　我们可以看到数组经过选择排序后，前三个元素分别是三趟选择中最大的元素，直接返回k-1索引位置的元素，即是第K大的元素。

　　时间复杂度O(n*K)，经过K次选择，每次选择都要遍历n个元素。

2，排序优化

　　上一个方法的本质实际上是将整个数组进行一个排序，然后根据索引位置得到答案，基于这个情况我们可以使用一些更快速的排序方法，例如选择排序或归并排序，以达到平局时间复杂度为O(nlogn)

public class Sort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{5,3,2,1,4,7,8,10,6,9};
        System.out.println(findKthLargest(arr, 2));
    }
    private static int findKthLargest(int[] arr, int k){
        if(k <= 0 || k > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException("k error");
        Arrays.sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        return arr[arr.length-k];
    }
}

　　结果：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
9

　　时间复杂度O(nlogn)，最坏时间复杂度根据不同的排序方法而不一样，快排的话就是O(n^2)，归并排序是O(nlogn)。

3，堆(优先队列)

　　思路是创建一个最小堆，将所有数组中的元素加入堆中，并保持堆的大小小于等于 k。这样，堆中就保留了前 k 个最大的元素。这样，堆顶的元素就是正确答案。

public class Heap {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{5,3,2,1,4,7,8,10,6,9};
        System.out.println(findKthLargest(arr, 3));
    }
    private static int findKthLargest(int[] arr, int k){
        if(k <= 0 || k > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException("k error");
        PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>((a,b)->{
            return a-b;
        });
        for(int num:arr){
            queue.offer(num);
            if(queue.size() > k)
                queue.poll();
        }
        return queue.peek();
    }
}

　　时间复杂度是O(nlogk)，向大小为 k 的堆中添加或删除元素的时间复杂度为O(logk)，遍历n个元素，故总时间复杂度为 O(nlogk)

4，快速选择

　　基于快排的思想，选出一个基准元素，将数组划分成两部分，左侧的元素都比基准元素大，右侧的都比基准元素小，如果基准元素的索引恰好等于k-1，也就是说这个基准元素就是第k大的元素，否则根据基准元素的位置再去左边或者右边去选择。

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Random;

public class QuickSelect {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{5,3,2,1,4,7,8,10,6,9};
        System.out.println(findKthLargest(arr, 10));
    }
    private static int findKthLargest(int[] arr, int k){
        if(k <= 0 || k > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException("k error");
        return quickSelect(arr, 0, arr.length-1, k);
    }
    private static int quickSelect(int[] arr, int left, int right, int k){
        if(left == right)
            return arr[left];
        Random random_num = new Random();
        int pivotIndex = left + random_num.nextInt(right - left);
        pivotIndex = partition(arr, left, right, pivotIndex);
        if(pivotIndex == k-1){
            return arr[pivotIndex];
        }else if(pivotIndex < k-1){
            return quickSelect(arr, pivotIndex+1, right, k);
        }else{
            return quickSelect(arr, left, pivotIndex-1, k);
        }
    }
    private static int partition(int[] arr, int left, int right, int pivotIndex){
        int pivot = arr[pivotIndex];
        swap(arr, pivotIndex, right);
        int l = left, r = right;
        while(l < r){
            while(l < r && arr[l] >= pivot)
                l++;
            if(arr[l] < pivot)
                swap(arr, l, r);
            while(l < r && arr[r] <= pivot)
                r--;
            if(arr[r] > pivot)
                swap(arr, l, r);
        }
        return l;
    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
}

　　这里我们选择一个数组中的随机值作为基准值，如果每次恰好都划分一半的元素的话，则T(n) = n + n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + ... = 2n，也就是O(n)的时间复杂度。

　　但如果每一次选择的元素恰好是最小值的话，时间复杂度则退化到了O(n^2)

　　但是平均时间复杂度是O(n)，算法导论上有严格的证明。

5，BFPRT

　　在BFPRT算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免最坏情况的发生。算法步骤如下：

1. 将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的n%5个元素组成。
2. 寻找n/5个组中每一个组的中位数，首先对每组的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。
3. 对于2中找出的n/5个中位数，递归进行步骤1和2，直到只剩下一个数即为这n/5个元素的中位数，找到中位数后并找到对应的下标p。
4. 进行Partion划分过程，Partion划分中的pivot元素下标为p。
5. 进行高低区判断即可

　　本算法的最坏时间复杂度为O(n)，值得注意的是通过BFPTR算法将数组按第K小（大）的元素划分为两部分，而这高低两部分不一定是有序的，通常我们也不需要求出顺序，而只需要求出前K大的或者前K小的。

public class BFPRT {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{3,2,3,1,2,4,5,5,6};
        System.out.println(findKthLargest(arr, 4));
    }
    private static int findKthLargest(int[] arr, int k){
        if(k <= 0 || k > arr.length)
            throw new IllegalArgumentException("k error");
        return quickSelect(arr, 0, arr.length-1, k);
    }
    private static int findMedian(int[] arr, int l, int r){
        int i = l, index = 0;
        for(; i + 4 <= r; i += 5, index++){
            sort(arr, i, i + 4);
            swap(arr, l + index, i + 2);
        }
        if(i <= r){
            sort(arr, i, r);
            swap(arr, l+index, i + (r-i+1) / 2); //如果是最后数组元素是偶数选择较小的一个
            index++;
        }
        if(index == 1)
            return l;
        else
            return findMedian(arr, l, l+index-1);
    }
    private static int quickSelect(int[] arr, int left, int right, int k){
        if(left == right)
            return arr[left];
//        Random random = new Random();
//        int pivotIndex = left + random.nextInt(right - left);
        int pivotIndex = findMedian(arr, left, right);
        pivotIndex = partition(arr, left, right, pivotIndex);
        if(pivotIndex == k-1){
            return arr[pivotIndex];
        }else if(pivotIndex < k-1){
            return quickSelect(arr, pivotIndex+1, right, k);
        }else{
            return quickSelect(arr, left, pivotIndex-1, k);
        }
    }
    private static int partition(int[] arr, int left, int right, int pivotIndex){
        int pivot = arr[pivotIndex];
        swap(arr, pivotIndex, right);
        int l = left, r = right;
        while(l < r){
            while(l < r && arr[l] >= pivot)
                l++;
            if(arr[l] < pivot)
                swap(arr, l, r);
            while(l < r && arr[r] <= pivot)
                r--;
            if(arr[r] > pivot)
                swap(arr, l, r);
        }
        return l;
    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
    public static void sort(int[] arr, int l, int r){
        for(int i = l; i <= r; i++){
            for(int j = i+1; j <= r; j++){
                if(arr[j] < arr[i])
                    swap(arr, i, j);
            }
        }
    }
}