lda：变分的推导

lda，latent diriclet allocation,是一个最基本的bayesian模型。本文要研究lda基于变分的推导方法。意义是重大的。

一、符号的定义

: the number of topics
 : the number of documents
 : the number of terms in vocabulary
 : index topic
 : index document
 : index word
 : denote a word

in LDA:
: model parameter
 : model parameter
 ,: hidden variables.

图模型：
引入variational parameter:
 : Dirichlet parameter
 : Multinomial parameter

我们引入variational distribution，a fully factorized model

 要注意的是， 是后验分布，我们隐去了given  

二、总论

我们使用了variational EM algorithm：
在E step，我们使用variational approximation to posterior来最优化variational parameters，找到最靠谱的后验分布。
在M step，我们提升lower bound with respect to the model parameters。

具体算法：
E-step: 对于每一个文档，find optimal values of the variational parameters

 M-step：maximize the lower bound with respect to the model parameters  and 

三、lower bound

3.1 Jensens inequality

有随机变量，对于convex的，有 ;
对于concave的，有;

3.2 推导lower bound

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