BZOJ1801或洛谷2051 [AHOI2009]中国象棋

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洛谷原题链接

这题挺难想状态的，刚看题感觉是状压，但数据\(100\)显然不可能。

注意到每行每列只能放\(0\sim 2\)个棋子，所以我们可以将这个写入状态。

设\(f[i][j][k]\)表示放了前\(i\)行，共有\(j\)列只放了一个棋子，共有\(k\)列放了两个棋子，而没有放棋子的列数则可以直接计算，即\(m - j - k\)。

然后分类讨论。

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• 第\(i\)行不放
  
  只有一种放法，直接由上一层转移：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j][k]$$

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• 第\(i\)行放一个棋子

1. 放在原本没有放棋子的列上，共\(m - (j - 1) - k\)种放法：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j - 1][k] \times (m - (j - 1) - k)$$
2. 放在原本只有一个棋子的列上，共\(j + 1\)种放法：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j + 1][k - 1] \times (j + 1)$$

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• 第\(i\)行放两个棋子

1. 都放在原本没有放棋子的列上，共\(C_{m - (j - 2) - k} ^ 2\)种放法：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j - 2][k] \times C_{m - (j - 2) - k} ^ 2$$
2. 一个放在空列，一个放在原本只有一个棋子的列上，共\(j \times (m - j - (k - 1))\)种放法：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j][k - 1] \times j \times (m - j - (k - 1))$$
3. 都放在原本只有一个棋子的格子上，共\(C_{j + 2} ^ 2\)种放法：$$f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i - 1][j + 2][k - 2] \times C_{j + 2} ^ 2$$

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初值\(f[0][0][0] = 1\)，其它为\(0\)。

在\(DP\)过程中注意取模和边界问题。

最后答案就是\(\sum\limits_{i = 0} ^ m \sum \limits _{j = 0} ^ m f[n][i][j]\)。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 110;
const int mod = 9999973;
int f[N][N][N];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + c - '0';
	return p ? -x : x;
}
inline int C(int x)
{
	return (1LL * x * (x - 1) >> 1) % mod;
}
int main()
{
	int i, j, k, n, m, s = 0;
	n = re();
	m = re();
	f[0][0][0] = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)
		for (j = 0; j <= m; j++)
			for (k = 0; k + j <= m; k++)
			{
				f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
				if (k)
				{
					f[i][j][k] = ((1LL * f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1) % mod) + f[i][j][k]) % mod;
					f[i][j][k] = ((1LL * f[i - 1][j][k - 1] * j % mod * (m - j - k + 1) % mod) + f[i][j][k]) % mod;
				}
				if (j)
					f[i][j][k] = ((1LL * f[i - 1][j - 1][k] * (m - j - k + 1) % mod) + f[i][j][k]) % mod;
				if (j > 1)
					f[i][j][k] = ((1LL * f[i - 1][j - 2][k] * C(m - j - k + 2) % mod) + f[i][j][k]) % mod;
				if (k > 1)
					f[i][j][k] = ((1LL * f[i - 1][j + 2][k - 2] * C(j + 2) % mod) + f[i][j][k]) % mod;
			}
	for (i = 0; i <= m; i++)
		for (j = 0; j <= m; j++)
			s = (1LL * s + f[n][i][j]) % mod;
	printf("%d", s);
	return 0;
}