MT【181】横穿四象限

设函数$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{\lambda}{x-2}$,其中$a,\lambda\in R$
记$A_1=\{(x,y)|x>0,y>0\},A_2=\{(x,y)|x<0,y>0\},A_3=\{(x,y)|x>0,y<0\},$
$A_4=\{(x,y)|x<0,y<0\},M=\{(x,y)|y=f(x)\}$,
若对任意的$\lambda\in(1,3),M\cap A_i\ne \varnothing(i=1,2,3,4) $,求$a$的范围.

分析:

考虑到$\lim\limits_{x\longrightarrow 2^+}f(x)=-\infty;\lim\limits_{x\longrightarrow 2^-}f(x)=+\infty$
所以图像恒过第一第四象限；
当$a<0$时,$\lim\limits_{x\longrightarrow a^-}f(x)=-\infty;\lim\limits_{x\longrightarrow a^+}f(x)=+\infty$此时图像过第二第四象限,满足题意；
当$a\ge0$时,由于$f(x)$是由两个基本初等函数通过加减乘除及其复合运算构成的,其在定义区间上连续,故只需考虑

$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{\lambda}{x-2}=0$对任意$\lambda\in(1,3)$在$x\in(-\infty,0)$有解.
即$x=\dfrac{\lambda a-2}{\lambda-1}$对任意$\lambda\in(1,3)$在$x\in(-\infty,0)$有解.得$a\le \dfrac{2}{3}$特别的$\lambda=2,a=0.5$时如图：

可以说明必要性也是充分性.