牛客网NOIP赛前集训营-提高组（第八场）-B-推箱子[最短路优化建图]

题意

有 \(n\) 个箱子，指定一个箱子开始向右推，如果碰到了别的箱子会令其移动，问 \(k\) 秒之后每个箱子所在的位置。

\(n\leq 10^5\).

分析

• 转化成最短路模型，如果两个箱子 \(a,b\) 在 \(y\) 轴方向上投影有交，连边 \(a \rightarrow b\)，边长为 \(x_{1b}-x_{2a}\).

• 考虑优化建图，发现如果三个箱子 \(a,b,c\) 投影两两有交，\(a\) 和 \(c\) 之间不用连边。

• 所以如果两个箱子 \(a,b\) 之间需要连边，当且仅当在从 \(a\) 到 \(b\) 的过程中不存在一个 \(x\) 满足 \(x\) 和 \(a,b\) 的投影都有交。

• 考虑扫描线按 \(y\) 排序，因为此时加入的所有箱子的投影都是两两有交的，在加入一个箱子的时候和他左右相邻的两个箱子连边即可。容易证明如果两个箱子满足之前的条件，他们一定会连边。

• 边数 \(O(n)\), 总时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].lst,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=2e5 + 7;
const LL inf=1e13;
int n,S,k,ndc,edc;
int vis[N],head[N];
LL dis[N],xl[N],xr[N],yl[N],yr[N];
struct data{
	int opt,id;LL y;
	bool operator <(const data &rhs)const{
		if(xl[id]!=xl[rhs.id]) return xl[id]<xl[rhs.id];
		return xr[id]<xr[rhs.id];
	}
}q[N<<1];
set<data>s;
set<data>::iterator l,r;
struct edge{ int lst,to,c; }e[N<<2];
void Add(int a,int b,int c){
	e[++edc]=(edge){head[a],b,c},head[a]=edc;
}
struct Heap{
	int u;LL dis;
	bool operator <(const Heap &b)const{
		return b.dis<dis;
	}
};
void dijk(){
	priority_queue<Heap>Q;
	fill(dis+1,dis+1+n,inf);dis[S]=0;
	Q.push((Heap){S,dis[S]});
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.top().u;Q.pop();
		if(vis[u]) continue;vis[u]=1;
		go(u)if(dis[u]+e[i].c<dis[v]){
			dis[v]=dis[u]+e[i].c;
			Q.push((Heap){v,dis[v]});
		}
	}
}
int main(){
	n=gi(),S=gi(),k=gi();
	rep(i,1,n){
		xl[i]=gi(),yl[i]=gi(),xr[i]=gi(),yr[i]=gi();
		q[++ndc]=(data){1,i,yl[i]};
		q[++ndc]=(data){0,i,yr[i]+1};
	}
	sort(q+1,q+1+ndc,[&](const data &a,const data &b){return a.y<b.y||a.y==b.y&&a.opt<b.opt;});
	rep(i,1,ndc){
		if(q[i].opt){
			s.insert( (data){0,q[i].id,0} );
			r=s.lower_bound( (data){0,q[i].id,0} ),l=r++;

			if(l!=s.begin()) --l,Add(l->id,q[i].id,xl[q[i].id]-xr[l->id]);
			if(r!=s.end())  Add(q[i].id,r->id,xl[r->id]-xr[q[i].id]);
		}else s.erase( (data){0,q[i].id,0} );
	}
	dijk();
	rep(i,1,n){
		LL res;
		if(dis[i]==inf||dis[i]>=k) res=0;
		else res=k-dis[i];
		printf("%lld%c",xl[i]+res,i==n?'\n':' ');
	}
	return 0;
}