有向图的拓扑排序的理解和简单实现(Java)

如果图中存在环(回路)，那么该图不存在拓扑排序，在这里我们讨论的都是无环的有向图。

什么是拓扑排序

一个例子

对于一部电影的制作过程，我们可以看成是一个项目工程。所有的工程都可以分为若干个"活动"的自工程。在这些活动之间，通常会受到一定的条件约束，如其中某些活动必须在另一些活动完成之后才能开始。比如，电影制作不可能在人员到位进驻场地时，导演还没有找到，也不可能在拍摄过程中，场地都没有。这些听起来就很荒谬。

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称为AOV网(Activity On Vertex Network)。

AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。

设G={V, E}是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1v_1v1​，v2v_2v2​，…，vnv_nvn​满足若从顶点viv_ivi​到vjv_jvj​有一条路径，则在顶点序列中顶点viv_ivi​必在顶点vjv_jvj​之前。则我们成这样的顶点序列为一个拓扑序列。

摘自：《大话数据结构》

那么拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。构造时有两个结果：

1. 如果此网的全部顶点都被输出，说明该网是不存在环的AOV网
2. 如果输出的顶点数少了，说明这个网存在环，不是一个AOV网

算法思路

从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧。继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止。

算法实现

数据结构

由于拓扑排序中，需要删除顶点，那么采用邻接矩阵的方式就不太合适，我们可以使用邻接表，这样会更方便。

在算法运行过程中，始终要查找入度为0的顶点，我们在原来顶点表结构的基础上，增加一个入度域in，表示该顶点入度的数字。

边表节点结构体：

public class EdgeNode {

	int adjevex;
	int weight;
	EdgeNode next;

	public EdgeNode(int adjevex, EdgeNode next) {
		this.adjevex = adjevex;
		this.next = next;
	}
}

顶点表节点结构体：

public class VertexNode {

	int in;
	Object data;
	EdgeNode firstedge;

	public VertexNode(Object data, int in, EdgeNode firstedge) {
		this.data = data;
		this.in = in;
		this.firstedge = firstedge;
	}
}

示例AOV图：



对应的邻接表为：



在算法中，我们还需要使用到一个栈，用来存储处理过程中入度为0的顶点下标，目的是为了避免每次查找时都需要遍历顶点表找有没有入度为0的顶点。

拓扑算法代码实现：

package 拓扑排序;

import java.util.Stack;

public class TopologySort {

	static VertexNode[] adjList;
	Stack stack = new Stack();

	public String ToplogicalSort() {
		EdgeNode e;
		int k, gettop;
		int count = 0;
		for (int i = 0; i < adjList.length; i++) {
			if(adjList[i].in  == 0) {
				stack.push(i);
			}
		}
		while(!stack.empty()) {
			gettop = (int) stack.pop();
			System.out.print(adjList[gettop].data + "->");
			count++;
			for (e = adjList[gettop].firstedge; e != null; e = e.next) {
				k = e.adjevex;
				if((--adjList[k].in) == 0) {   //将其入度减少一位，目的是将顶点上的弧删除
					stack.push(k);
				}
			}
		}
		System.out.println();
		return count < adjList.length ? (String) "ERROR" : (String) "OK";
	}

	public static EdgeNode getAdjvex(VertexNode node) {
		EdgeNode e = node.firstedge;
		while(e != null) {
			if(e.next == null) break;
			else
				e = e.next;
		}
		return e;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] ins = {0, 0, 2, 0, 2,3,1,2,2,1,1,2,1,2};
		int[][] adjvexs = {
				{11, 5, 4},
				{8,4,2},
				{9, 6, 5},
				{13, 2},
				{7},
				{12, 8},
				{5},
				{},
				{7},
				{11, 10},
				{13},
				{},
				{9},
				{}
		};
		adjList = new VertexNode[ins.length];
		for (int i = 0; i < ins.length; i++) {
			adjList[i] = new VertexNode("V"+i, ins[i],null);
			if(adjvexs[i].length > 0) {
				for (int j = 0; j < adjvexs[i].length; j++) {
					if(adjList[i].firstedge == null)
						adjList[i].firstedge = new EdgeNode(adjvexs[i][j], null);
					else {
						getAdjvex(adjList[i]).next = new EdgeNode(adjvexs[i][j], null);
					}
				}
			}
		}
		TopologySort t = new TopologySort();

		System.out.println(t.ToplogicalSort());

	}

}

该算法的时间复杂度为O(n+e)。