【UOJ#32】【UR #2】跳蚤公路（最短路）

【UOJ#32】【UR #2】跳蚤公路（最短路）

题面

UOJ

题解

不难发现要求的就是是否存在负环。也就是我们只需要找到所有的负的简单环，很容易就可以想到维护路径上和\(x\)相关的内容，即维护一下\(u\)到\(v\)路径上，含有\(kx\)的路径的最小的\(b\)。这个可以用\(Floyd\)在\(O(n^5)\)的复杂度中求解。这样子我们用\(f[u][u][k]\)就知道了一个包含了\(u\)的，且\(x\)系数为\(k\)的最小的环，求出其负环的值域范围，接着其能够到达的所有点都会收到这个负环的限制。

我们的主要目的是找出简单负环，找负环可以用\(Bellman-Ford\)算法，设\(f[t][v]\)表示从\(1\)号点开始走不超过\(t\)步，到达\(v\)的最短路。因为最短路是简单路径，不会有重复点，所谓\(f[t-1][v]=f[t][v]\)。否则如果不等必定存在负环。

注意这个只能检测负环是否存在，我们还要考虑负环会造成的影响，如果一个点\(f[t][v]<f[t-1][v]\)，证明这个点受到了负环的影响，同理其所有能够到达的点也能够受到负环的影响。

那么我们把这个想法拓展一步，变为\(f[t][v][k]\)，表示走了\(t\)步，到\(v\)，\(x\)的系数为\(k\)的最短路。

那么如果存在负环，就要满足：

\[\min\{kx+f[n][v][k]\}\ge \min\{jx+f[n-1][v][j]\}
\]

那么只需要把这个数组搞出来，然后就可以解\(x\)范围了。

窝代码是抄的。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 105
#define pi pair<ll,ll>
#define f(i,j,k) f[i][j][k+105]
const ll inf=1e18;
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Line{int u,v,w,k;}e[MAX*MAX];int cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w,int k){e[cnt++]=(Line){u,v,w,k};}
int g[MAX][MAX];ll f[MAX][MAX][MAX<<1];
vector<pi> vec[MAX],S;
int n,m;
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read(),k=read();
		Add(u,v,w,k);g[u][v]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)g[i][i]=1;
	for(int k=1;k<=n;++k)
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				g[i][j]|=g[i][k]&g[k][j];
	for(int i=0;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			for(int k=-n;k<=n;++k)
				f(i,j,k)=inf;
	f(0,1,0)=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
        memcpy(f[i],f[i-1],sizeof(f[i]));
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int u=e[j].u,v=e[j].v,w=e[j].w,s=e[j].k;
			for(int k=-n;k<=n;++k)
				if(f(i-1,u,k)<inf)
					f(i,v,k+s)=min(f(i,v,k+s),f(i-1,u,k)+w);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int k=-n;k<=n;++k)
			if(f(n,i,k)!=inf)
			{
				ll l=-inf,r=inf;bool fl=false;
				for(int j=-n;j<=n;++j)
					if(f(n-1,i,j)!=inf)
					{
						if(k>j)r=min(r,(ll)ceil(1.0*(f(n-1,i,j)-f(n,i,k))/(k-j)));
						else if(k<j)l=max(l,(ll)floor(1.0*(f(n-1,i,j)-f(n,i,k))/(k-j)));
						else if(f(n,i,k)>=f(n-1,i,j)){fl=true;break;}
					}
				if(!fl&&l<r)vec[i].push_back(make_pair(l,r));
			}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		S.clear();
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if(g[1][j]&&g[j][i])
				for(auto p:vec[j])S.push_back(p);
		sort(S.begin(),S.end());
		ll l=inf,r=-inf,lst=-inf;
		bool fl=false;
		for(int j=0,len=S.size();j<len;++j)
		{
			if(!j&&S[j].first>-inf)
			{
				l=-inf;r=S[j].first;
				fl=true;break;
			}
			if(lst!=-inf&&lst<=S[j].first)
			{
				l=lst;r=S[j].first;
				fl=true;break;
			}
			lst=max(lst,S[j].second);
		}
		if(!fl&&lst<inf)l=lst,r=inf;
		if(l==-inf||r==inf||!S.size())puts("-1");
		else printf("%lld\n",max(0ll,r-l+1));
	}
	return 0;
}