bzoj3876: [Ahoi2014]支线剧情

神犇题解：http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/43024221

题意：给定一个DAG，1为起始点，任意一个点可以直接回到1，每条边有经过代价，求一种最优方案使得每条边至少经过一次，代价最小。

无源汇有下界最小费用可行流。

考虑我们对于无源汇的建图：对于每个点，它的入度下界为容量，S向它拉一条边，出度下界为容量，其向T连一条边，跑一边最大流即可。

这里我们建图实际上一样，但是加上了费用，具体建图如下：

对于x->y，费用为z

S向y建容量为1，费用为z的边（对应无源汇里的入度处理）

x向y建容量INF，费用为z的边（即自由流）

对于每一个点x，假设其出度为a

x向T建容量为a，费用为0的边（出度处理）（注意这里不要加上费用，因为已经在入度处理的时候就加过了）

x向1建容量INF，费用为0的边（对应题意）

然后跑最小费用流就可以了。

膜拜ihopenot大爷。

实际上有一个很大的建图优化，也是无源汇建图的优化，即合并入出度并且相互抵消。但是对于这道题就不好做，因为有费用，不过可以这么想：既然每一条边都要走，我们就直接把费用抽出来，即答案一开始就为所有边走一次的代价，然后这样入度的费用就变为0了。然后再与出度进行抵消，最后边的数量大大减少。

实践证明，从原来改到现在，时间从8000多优化到100多ms。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define N 50005
 #define INF 1e9
 inline int read(){
     int x=,f=;char a=getchar();
     while(a<'' || a>'') {if(a=='-') f=-; a=getchar();}
     while(a>='' && a<='') x=x*+a-'',a=getchar();
     return x*f;
 }
 int ans,n,cnt,a[N],p[N],d[N],head[N],S,T;
 bool vis[N];
 queue<int>q;
 struct edges{
     int fr,to,cap,flow,cost,next;
 }e[*N];
 inline void insert(int u,int v,int f,int c){
     e[cnt]=(edges){u,v,f,,c,head[u]};head[u]=cnt++;
     e[cnt]=(edges){v,u,,,-c,head[v]};head[v]=cnt++;
 }
 inline bool spfa(){
     memset(d,0x3f,sizeof(d));
     d[S]=; a[S]=INF; q.push(S);
     while(!q.empty()){
         int x=q.front(); q.pop(); vis[x]=;
         for(int i=head[x];i>=;i=e[i].next)
             if(d[e[i].to]>d[x]+e[i].cost && e[i].flow<e[i].cap){
                 d[e[i].to]=d[x]+e[i].cost; p[e[i].to]=i;
                 a[e[i].to]=min(a[x],e[i].cap-e[i].flow);
                 if(!vis[e[i].to]) vis[e[i].to]=,q.push(e[i].to);
             }
     }
     return d[T]<INF;
 }
 inline void mincf(){
     ans+=a[T]*d[T];
     int u=T;
     while(u!=S){
         e[p[u]].flow+=a[T];
         e[p[u]^].flow-=a[T];
         u=e[p[u]].fr;
     }
 }
 int main(){
     memset(head,-,sizeof(head));
     n=read(); S=; T=n+;
     for(int a,i=;i<=n;i++){
         a=read(); insert(i,T,a,);
         if(i!=) insert(i,,INF,);
         for(int to,co,j=;j<=a;j++)
         to=read(),co=read(),insert(i,to,INF,co),insert(S,to,,co);
     }
     while(spfa()) mincf();
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

优化建图：

 for(int a,i=;i<=n;i++){
         a=read(); cd[i]=a;
         if(i!=) insert(i,,INF,);
         for(int to,co,j=;j<=a;j++)
         to=read(),co=read(),ans+=co,r[to]++,insert(i,to,INF,co);
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     if(r[i]>cd[i]) insert(S,i,r[i]-cd[i],);
     else insert(i,T,cd[i]-r[i],);