【bzoj3513】[MUTC2013]idiots FFT

题目描述

给定n个长度分别为a_i的木棒，问随机选择3个木棒能够拼成三角形的概率。

输入

第一行T(T<=100)，表示数据组数。

接下来若干行描述T组数据，每组数据第一行是n，接下来一行有n个数表示a_i。

3≤N≤10^5,1≤a_i≤10^5

输出

T行，每行一个整数，四舍五入保留7位小数。

样例输入

2
4
1 3 3 4
4
2 3 3 4

样例输出

0.5000000
1.0000000

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题解

FFT

考虑什么样的3根木棍不能构成三角形：最长边大于等于其余两边之和。

因为长度只有$10^5$，因此可以直接记录由两根木棒拼成某长度的方案数，然后直接求前缀和统计答案即可。

但是朴素的统计方案数的时间复杂度是$O(n^2)$的，会TLE。

考虑到两边的长度s2[]和一边的长度s1[]的卷积有关，因此可以先使用FFT求某长度的个数s1[]的卷积，然后由于两根相同的木棒统计到了答案中，需要减掉；其余的方案出现了2次，需要再除以2.

最后求前缀和统计答案即可。注意需要long long。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
const int len = 262144;
const double pi = acos(-1);
struct data
{
	double x , y;
	data() {}
	data(double x0 , double y0) {x = x0 , y = y0;}
	data operator+(const data &a)const {return data(x + a.x , y + a.y);}
	data operator-(const data &a)const {return data(x - a.x , y - a.y);}
	data operator*(const data &a)const {return data(x * a.x - y * a.y , x * a.y + y * a.x);}
}a[N << 2];
int w[N];
ll sum[N << 2];
void fft(int flag)
{
	int i , j , k;
	for(i = k = 0 ; i < len ; i ++ )
	{
		if(i > k) swap(a[i] , a[k]);
		for(j = len >> 1 ; (k ^= j) < j ; j >>= 1);
	}
	for(k = 2 ; k <= len ; k <<= 1)
	{
		data wn(cos(2 * pi * flag / k) , sin(2 * pi * flag / k));
		for(i = 0 ; i < len ; i += k)
		{
			data w(1 , 0) , t;
			for(j = i ; j < i + (k >> 1) ; j ++ , w = w * wn)
				t = w * a[j + (k >> 1)] , a[j + (k >> 1)] = a[j] - t , a[j] = a[j] + t;
		}
	}
}
void work()
{
	int i;
	fft(1);
	for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i] = a[i] * a[i];
	fft(-1);
	for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i].x /= len;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		memset(a , 0 , sizeof(a));
		int n , i;
		ll ans = 0;
		scanf("%d" , &n);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &w[i]) , a[w[i]].x ++ ;
		work();
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) a[w[i] * 2].x -- ;
		for(i = 1 ; i < len ; i ++ ) sum[i] = sum[i - 1] + (ll)(a[i].x / 2 + 0.1);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans += sum[w[i]];
		printf("%.7Lf\n" , 1 - (long double)ans / ((long double)n * (n - 1) * (n - 2) / 6));
	}
	return 0;
}