RQNOJ 311 [NOIP2000]乘积最大：划分型dp

题目链接：https://www.rqnoj.cn/problem/311

题意：

　　给你一个长度为n的数字，用t个乘号分开，问你分开后乘积最大为多少。(6<=n<=40，1<=k<=30)

题解：

　　简化问题：

　　　　给原数字之前添加一个"1 *"，乘号不计入数量，对答案无影响。

　　　　例如："1231"可以变成"(1*)1231"。

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = max num（最后一个乘号之前的最大乘积）

　　　　i：此时在第i个数的前面添了一个乘号

　　　　j：用了j个乘号

　　　　例1："(1*)12*31"：

　　　　　　dp[2][1] = 12　（数位从0开始从左向右编号）

　　　　例2："(1*)12*3*1"

　　　　　　dp[3][2] = 12*3 = 36

　　找出答案：

　　　　max dp[i][t] * cal_sec(i,n-1)

　　　　cal_sec(x,y)将数字串中[x,y]这个区间的字符串转化为数字

　　　　例如：设n=4,t=1.

　　　　　　　此时为"(1*)12*31"

　　　　　　　则此时这种方案的乘积为dp[2][1]* "31" = 12*31

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)

　　　　在前面的某一段乘积后面再续上一串数字，达到第i位，用了j个乘号。

　　　　前面的某一段乘积：枚举最后一个乘号在第k个数字之前，用了j-1个乘号。

　　　　要续的数字：从第k位到i-1位 = cal_sec(k,i-1)

　　边界条件：

　　　　初始时用了0个乘号，但乘积为1。

　　　　例如："(1*)1231".

　　　　特判：如果输入的数字就是0，则直接返回0.

　　注：输入用string，答案用long long存。

　　　　数据水。。。否则高精。。。

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = max num
 // i: last '*' is in front of ith bit
 // j: used j '*'
 //
 // find the answer:
 // max dp[i][t] * cal_sec(i,len-1)
 //
 // transferring:
 // dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)
 //
 // boundary:
 // if input == 0: return 0
 // else dp[0] = 1, others = -1
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 45
 #define MAX_K 35

 using namespace std;

 int n,t;
 long long ans;
 long long dp[MAX_N][MAX_K];
 long long sec[MAX_N][MAX_N];
 string s;

 void read()
 {
     cin>>n>>t>>s;
 }

 long long cal_sec(int x,int y)
 {
     if(sec[x][y]!=-) return sec[x][y];
     long long res=;
     for(int i=x;i<=y;i++)
     {
         res=res*+s[i]-'';
     }
     return sec[x][y]=res;
 }

 void solve()
 {
     memset(sec,-,sizeof(sec));
     memset(dp,-,sizeof(dp));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         for(int j=;j<=t && j<=i;j++)
         {
             for(int k=;k<i;k++)
             {
                 if(dp[k][j-]!=-)
                 {
                     dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-]*cal_sec(k,i-));
                 }
             }
         }
     }
     ans=;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         if(dp[i][t]!=-) ans=max(ans,dp[i][t]*cal_sec(i,n-));
     }
 }

 void print()
 {
     cout<<ans<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     solve();
     print();
 }