[POI2005][luogu3462] SZA-Template [fail树]

题面

传送门

思路

首先，我们观察一下这个要求的“模板串”，发现它有如下性质：

1.一个模板串$A$是要求的文本串$B$的公共前后缀

2.如果一个模板串$A$有另一个模板串$B$（也就是$B$可以覆盖A），那么$B$是比$A$更优的一个解

3.如果模板串$A$可以完全覆盖文本串$B$，那么$A$在$B$中的匹配位置（按照开头算）之间的空格数不会超过$A$的长度

这三条性质都挺明显的是吧？接下来我们就看看我们能怎么利用它

如何利用性质一？

性质一告诉我们，我们可以把文本串的$next$数组（就是$KMP$里面那个）求出来，然后做这样的操作：

i=n;//n=strlen(文本串)
while(i) s[++top]=i,i=next[i];

做完这个操作以后栈$s$中就存放了所有可能的模板串长度

如何利用性质二？

我们从小到大枚举$s$中的模板串，对于每个模板串，如果它满足性质三，就令这个长度为答案，否则就再增长一点

同时，我们有一个结论：能被/长度比较长的/符合性质一的/模板串（对于原串满足）/满足性质一的/一个前缀（这个前缀作为文本串满足）/，一定能和/长度比它短的/另一个模板串（此处也是作为文本串）/满足性质一（这句话意思比较绕）

如何利用性质三？

我们构建一个链表（双向的），只包含删除操作和求最大空隙操作，那么它的每个操作是$O\left(1\right)$的

那么我们一开始把文本串的所有位置插入链表，每一次更新上一个长度的模板串能满足性质一的、但是当前长度的模板串不能满足性质一的字符位置（也就是把那个点从链表里面删掉），维护最大空隙

当一个模板串满足性质三的时候，它就是答案了（因为我们是从小到大枚举的，而题目要求最短的那个）

还剩什么问题？

我们最后剩下一个问题：如何把匹配$s[i+1]$代表的模板串、但是不匹配$s[i]$代表的模板串的位置找出来？

这里我们要利用一个新的数据结构（可能不算？），就是$fail$树（也称$next$树）

$fail$树就是把$fail[i]$（为了方便，以后$next[i]$称作$fail[i]$）和$i$连起来形成的树，以0为根节点

$fail$树有这样的性质：

1.点$x$如果是点$y$的祖先，那么$y$代表的前缀的一个公共前后缀为$x$代表的前缀

2.不在同一子树内的两点代表的前缀不能互相满足性质一

那么，我们发现，这道题的问题，其实就是从根节点开始往n号节点走一条链，并且每次把当前节点的$fail$树子树中的所有节点标记，统计原串上的最大空隙，如果空隙小于当前节点代表的前缀的长度，就作为答案输出

所以实际上这是个fail树的题目

好像不用fail也能做？反正本蒟蒻是想不出来......

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
char a[500010];int n,cnt,maxgap,fail[500010],pre[500010],suc[500010],first[500010],ans[500010],tot;
struct edge{//fail树上的边
    int to,next;
}e[500010];
void add(int u,int v){
    e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;
}
void getfail(){//求next数组（我的代码里叫fail）
    int i,j=0;
    for(i=1;i<n;i++){
        while(j&&(a[i]!=a[j])) j=fail[j];
        j+=(a[i]==a[j]);fail[i+1]=j;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) add(fail[i],i);
}
void del(int x){//链表删除操作，O(1)
    suc[pre[x]]=suc[x];
    pre[suc[x]]=pre[x];
    maxgap=max(maxgap,suc[x]-pre[x]);suc[x]=pre[x]=0;
}
int q[500010];
void bfs(int s,int avoid){//s的子树中，避开avoid的子树，其余点全部从链表里面删掉
    int u,v,i,head=0,tail=1;q[0]=s;
    while(head<tail){
        u=q[head++];if(u==avoid) continue;
        del(u);
        for(i=first[u];~i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;q[tail++]=v;
        }
    }
}
int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));memset(fail,0,sizeof(fail));int i,j;
    scanf("%s",a);n=strlen(a);
    getfail();
    for(i=n;i;i=fail[i]) ans[++tot]=i;ans[tot+1]=0;
    for(i=1;i<=n;i++) pre[i]=i-1,suc[i]=i+1;
    maxgap=1;
    for(i=tot;i>=1;i--){
        bfs(ans[i+1],ans[i]);
        if(maxgap<=ans[i]){
            printf("%d",ans[i]);return 0;
        }
    }
}