CF438E The Child and Binary Tree（生成函数+多项式开根+多项式求逆）

传送门

可以……这很多项式开根模板……而且也完全不知道大佬们怎么把这题的式子推出来的……

首先，这题需要多项式开根和多项式求逆。多项式求逆看这里->这里，这里讲一讲多项式开根

多项式开方：已知多项式$B$，求多项式$A$满足$A^2\equiv B\pmod{x^n}$（和多项式求逆一样这里需要取模，否则$A$可能会有无数项）

假设我们已经求出$A'^2\equiv B\pmod{x^n}$，考虑如何计算出$A^2\equiv B\pmod{x^{2n}}$

首先肯定存在$A^2\equiv B\pmod{x^n}$

然后两式相减$$A'^2-A^2\equiv 0\pmod{x^n}$$

$$(A'-A)(A'+A)\equiv 0\pmod{x^n}$$

我们假设$A'-A\equiv 0\pmod{x^n}$，然后两边平方$$A'^2-2A'A+A^2\equiv 0\pmod{x^{2n}}$$

（关于平方之后模数变化的原因可以看我多项式求逆那篇文章，里面有写）

又因为$A^2\equiv B\pmod{x^{2n}}$，代入得$$A'^2-2A'A+B\equiv 0\pmod{x^{2n}}$$

$$A\equiv\frac{A'^2+B}{2A'}\pmod{x^{2n}}$$

那么这个只要递归计算就可以了

然后多项式开方就讲到这里

下面说一下本题的做法

首先，我也不知道怎么想到的构造出生成函数，$C=\sum_{i=1}^{lim}s_ix^i$，其中$s_i$表示$i$是否在集合中出现过，然后再设一个$F_k$表示权值为$k$时的答案

因为一棵二叉树可以由根节点，左右子树构成（左右子树可以是空的）

那么存在如下关系$$F_k=\sum_{i=0}^ks_i\sum_{j=0}^{k-i}F_jF_{k-i-j}$$

然后我也不知道怎么看出来的发现这是一个卷积的形式，即$$F=1+C*F*F$$（这里$*$是多项式乘法）（这里$1$是加上去的常数项，因为有$F_0=1$，即空树）

把它看做一个一元二次方程求解，得$$F=\frac{1\pm \sqrt{1-4C}}{2C}=\frac{2}{1\pm\sqrt{1-4C}}$$

然后因为$F_0=1,C_0=0$，所以符号取正，即$$F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C}}$$

那么把多项式开根和多项式求逆的板子带进去就好了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
 #define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
 #define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int K=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,K+,stdout),K=-;}
 inline void print(int x){
     if(K><<)Ot();if(x<)sr[++K]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='\n';
 }
 const int N=,P=,G=,inv2=;
 inline int ksm(int a,int b){
     int res=;
     while(b){
         if(b&) res=mul(res,a);
         a=mul(a,a),b>>=;
     }
     return res;
 }
 int n,m,r[N],A[N],B[N],C[N],D[N],O[N],d[N],c[N];
 void NTT(int *A,int type,int len){
     int limit=,l=;
     while(limit<len) limit<<=,++l;
     for(int i=;i<limit;++i)
     r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(l-));
     for(int i=;i<limit;++i)
     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
     for(int mid=;mid<limit;mid<<=){
         int R=mid<<,Wn=ksm(G,(P-)/R);O[]=;
         for(int j=;j<mid;++j) O[j]=mul(O[j-],Wn);
         for(int j=;j<limit;j+=R){
             for(int k=;k<mid;++k){
                 int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
                 A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
             }
         }
     }
     if(type==-){
         reverse(A+,A+limit);
         for(int i=,inv=ksm(limit,P-);i<limit;++i)
         A[i]=mul(A[i],inv);
     }
 }
 void Inv(int *a,int *b,int len){
     if(len==) return (void)(b[]=ksm(a[],P-));
     Inv(a,b,len>>);
     for(int i=;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
     NTT(A,,len<<),NTT(B,,len<<);
     for(int i=,l=(len<<);i<l;++i) A[i]=mul(mul(A[i],B[i]),B[i]);
     NTT(A,-,len<<);
     for(int i=;i<len;++i) b[i]=dec(1ll*(b[i]<<)%P,A[i]);
     for(int i=,l=(len<<);i<l;++i) A[i]=B[i]=;
 }
 void Sqrt(int *a,int *b,int len){
     if(len==) return (void)(b[]=a[]);
     Sqrt(a,b,len>>);
     for(int i=;i<len;++i) C[i]=a[i];
     Inv(b,D,len);
     NTT(C,,len<<),NTT(D,,len<<);
     for(int i=,l=len<<;i<l;++i) D[i]=mul(D[i],C[i]);
     NTT(D,-,len<<);
     for(int i=;i<len;++i) b[i]=mul(add(b[i],D[i]),inv2);
     for(int i=,l=(len<<);i<l;++i) C[i]=D[i]=;
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),m=read();
     for(int i=,x;i<=n;++i) x=read(),++d[x];
     int len;for(len=;len<=m;len<<=);
     for(int i=;i<len;++i) d[i]=(-*d[i]+P)%P;
     ++d[];
     Sqrt(d,c,len);
     for(int i=;i<len;++i) d[i]=;
     c[]=add(c[],);
     Inv(c,d,len);
     for(int i=;i<=m;++i) d[i]=add(d[i],d[i]);
     for(int i=;i<=m;++i) print(d[i]);
     Ot();
     return ;
 }