算法手记 之 数据结构(并查集详解)(POJ1703)

《ACM/ICPC算法训练教程》读书笔记-这一次补上并查集的部分。将对并查集的思想进行详细阐述，并附上本人AC掉POJ1703的Code。

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　　在一些有N个元素的集合应用问题中，通常会将每个元素构成单元素集合，然后按照一定顺序将同属一组的集合合并，期间要反复查找每一个元素在哪个集合中。这类问题往往看似简单，但是数据量很大，因此容易造成TLE或MLE，也就是空间度和时间度极其复杂。因此在这里，我们引入一种抽象的特殊数据结构——并查集。

　　并查集：类似一个族谱，每个结点均有一个father[x]来表示x结点的父结点，因此，我们在给并查集初始化的时候，先将结点设为自己的父结点，也就是: father[x] = x; ,依次初始所有结点。

　　并查集有两种重要的操作：查找，合并。

查找

　　并查集为避免时间上和空间上的损耗，在每一轮查找时，都要进行一次路径压缩优化。什么叫做路径压缩呢，简单的说就是将所有子结点都直接归属其根结点，减小代差，这样父辈和子辈就方便"交流"了。

　　具体来说，在查找时，如果得到3的父结点为1，而1的父结点为2，2的父结点又为4，就依次完成: father[3] = father[1] = father[2] = 4;

　　这样的优势就在于待到下一次查找时，可以直接进行一次操作完成查询，而不需多次操作“寻根问底”。

　　在这里我们利用递归的思想让这段代码实现起来简便易行：

 /*查找并压缩路径*/
 int Find_set(int x)
 {
     int temp = fa[x];
     if(x != fa[x])
         fa[x] = Find_set(fa[x]);    //路径压缩
     return fa[x];
 }
 /*使用*/
 p[x] = Find_set(x);

合并

　　也就是合并x和y所在的两个集合，简单来说，只需要把其中一个集合的根节点赋给另一个集合的根节点就可以了。因此此时需要进行一次查询操作并查找到x和y所在集合的两个根节点。

　　具体实现如下：

 void Union(int x,int y)
 {
     int fx = Find_set(x);
     int fy = Find_set(y);
     if (fx == fy)    //根节点Same
         return;
     father[fx] = fy;
 }

　　本书在这里给出的Code包括了启发式合并：也就是将深度小的根节点挂在深度大的根节点上，这样每次查询时进行路径压缩的次数就会得到优化。

　　但是我认为初学的时候摊上这个就有点麻烦了，而且这种优化在一定程度来说写起来比较繁琐，因此就没有在这里贴出来了，在某些极端情况下可以加上启发式合并试试。

　　那么像这样利用路径压缩就可以将并查集的时间复杂度看做O(1)，空间复杂度为O(n)，这样就将一个大规模问题转化为一个空间小，速度极快的简单操作。

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　　POJ1703解题报告：

　　题目大意：Tadu City中有两个黑帮团伙，一共n名团伙成员(不知道属于哪个组织)，现在警察局有一些信息，每条信息包括两个人的编号：

　　输入D x y：代表x于y不在一个团伙里
　　输入A x y：询问x与y是否在同一团伙或者不确定他们在同一个团伙里

　　

　　那么在这种题目中，我们用并查集的思想可以避免大规模地遍历每个成员。那么具体来说如何实现呢。

　　如果定义两个帮派集合，那么在大量的D x y中也可能无法确认谁属于哪个帮派，而如果定义每个人一个帮派，那么就可以将并查集的思想利用起来，为了表明成员间的关系，因此我们在这里加入一个relate[x]来表明x结点与其父结点的关系。我们用1来表示这两个成员是不同帮派，而用0来表示这两个成员属于同一个帮派。

　　大家可以先打个草稿来尝试如何将大量D x y数据合并（注意relate[]的调整）

　　Code仅供参考：

　　

 //并查集：D x y 表示x和y分属不同帮派，A x y表示查询x和y的关系
 //在并查集的基础上加上relate[]，表示t与其父结点fa[t]的关系
 //Memory:948K Time:344Ms
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 #define MAX 100005
 int n, m;
 int fa[MAX], r[MAX];    //father node - relation
 int find(int x)
 {
     if (x != fa[x]) {
         int pa = fa[x];
         fa[x] = find(fa[x]);    //路径压缩
         r[x] ^= r[pa];    //改变关系
     }
     return fa[x];
 }
 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while (T--)
     {
         scanf("%d%d", &n, &m);
         memset(r, , sizeof(r));
         for (int i = ; i <= n;i++)
             fa[i] = i;
         while (m--)
         {
             int c1, c2;
             char flag;
             scanf("\n%c%d%d", &flag, &c1, &c2);
             //找出根节点
             int p1 = find(c1), p2 = find(c2);
             if (flag == 'A')
             {
                 if (p1 != p2)
                     printf("Not sure yet.\n");
                 else if (r[c1] == r[c2])
                     printf("In the same gang.\n");
                 else printf("In different gangs.\n");
             }
             else {
                 fa[p1] = p2;
                 r[p1] = r[c1] == r[c2];    //c1-p1与c2-p2关系相同则p1与p2关系不同，反之亦然
             }
         }
     }
     return ;
 }