【洛谷5368】[PKUSC2018] 真实排名（组合数学）

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大致题意： 有$n$个数字，定义一个数的排名为不小于它的数的个数。现要随机将其中$k$个数乘$2$，求对于每个数有多少种方案使其排名不变。

分类讨论

对于这种题目，我们可以分类讨论一下，假设当前考虑第$i$个数的答案。

当$a_i$不被修改时，因为原先就$\ge a_i$的数不可能在修改后$<a_i$，所以我们就可以知道：

原先就$\ge a_i$的数可以随意修改。
原先$<a_i$的数如果修改后$\ge a_i$就不可以修改。

如果我们将原序列排序，设$t1$满足$2a_{t1}<a_i\le 2a_{t1+1}$，那么不可以修改的数就有$i-t1$个，而剩下的$n-(i-t1)$个数可以任意修改，即方案数为：

\[C_{n-(i-t1)}^k
\]

当$a_i$被修改时，因为原先就$<a_i$的数在修改后必然依旧$<a_i$，所以我们就可以知道：

原先就$<a_i$的数可以随意修改。
原先就$\ge2a_i$的数可以随意修改。
原先$\ge a_i$且$<2a_i$的数必须修改。

如果我们将原序列排序，设$t2$满足$a_{t2}<2a_i\le a_{t2+1}$，那么必须修改的数就有$t2-i+1$个（注意$a_i$必须修改），而剩下的$n-(t2-i+1)$个数可以任意修改，即方案数为：

\[C_{n-(t2-i+1)}^{k-(t2-i+1)}
\]

而对于$t1,t2$，我们可以在枚举$i$的同时进行维护。

特殊情况

注意，有两种特殊情况会把上面的推理过程卡掉。

$a_i=0$。
- 问题：我们会发现，根据$t2$的定义，此时$t2<i$，会出锅。
- 解决方案：每次将$t2$向$i$取$max$。
出现相同的$a_i$。
- 问题：在讨论过程中一些边界细节问题上会出锅。
- 解决方案：不难发现，相同的$a_i$答案是一样的。而对于一些相同的$a_i$，其中第一个$a_i$用上述方法计算答案是不会出错的。因此将所有相同的$a_i$的答案都赋为第一个$a_i$的答案即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 100000

#define X 998244353

#define C(x,y) ((x)>=(y)?1LL*Fac[x]*IFac[y]%X*IFac[(x)-(y)]%X:0)

using namespace std;

int n,k,ans[N+5],Fac[N+5],IFac[N+5];

struct data {int p,v;I bool operator < (Con data& o) Con {return v<o.v;}}s[N+5];

I int Qpow(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}

int main()

{

	RI i,t1,t2,lst;for(scanf("%d%d",&n,&k),Fac[0]=i=1;i<=n;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘

	for(IFac[n]=Qpow(Fac[n],X-2),i=n-1;~i;--i) IFac[i]=1LL*IFac[i+1]*(i+1)%X;//预处理阶乘逆元

	for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&s[s[i].p=i].v);//读入

	for(sort(s+1,s+n+1),s[0].v=-1,i=1,t1=t2=0;i<=n;++i)//记得排序

	{

		if(s[i].v==s[i-1].v) {ans[s[i].p]=lst;continue;}//如果与上一个数一样

		W(t1^n&&2*s[t1+1].v<s[i].v) ++t1;W(t2^n&&s[t2+1].v<2*s[i].v) ++t2;t2<i&&(t2=i);//更新t1,t2

		ans[s[i].p]=lst=(C(n-(i-t1),k)+(t2-i<=k?C(n-(t2-i+1),k-(t2-i+1)):0))%X;//计算答案

	}

	for(i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]);return 0;//输出答案

}