Codeforces 1270E - Divide Points（构造+奇偶性）

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门

显然，直接暴力枚举是不可能的。

考虑将点按横纵坐标奇偶性分组，记 \(S_{i,j}=\{t|x_t\equiv i\pmod{2},y_t\equiv j\pmod{2}\}(i,j\in[0,1])\)，说白了就是横坐标为偶数、纵坐标为偶数；横坐标为偶数、纵坐标为奇数；横坐标为奇数、纵坐标为偶数；横坐标为奇数、纵坐标为奇数的点集。

然后考虑以下算法：

• 若 \(S_{0,0},S_{1,1}\) 以及 \(S_{0,1},S_{1,0}\) 中至少各有一个集合非空，那么我们令 \(A=S_{0,0}\cup S_{1,1},B=S_{1,0}\cup S_{0,1}\) 即可，因为对于 \(S_{0,0},S_{1,1}\) 中任意两点，它们距离的平方要么模 \(4\) 余 \(0\)，要么模 \(4\) 余 \(2\)，\(S_{0,1},S_{1,0}\) 也同理；而对于 \(S_{0,0},S_{1,1}\) 与 \(S_{0,1},S_{1,0}\) 之间的点，距离的平方模 \(4\) 余 \(1\)，符合题目要求。

• 若 \(S_{0,0}\) 以及 \(S_{1,1}\) 均非空，那么我们令 \(A=S_{0,0},B=S_{1,1}\) 即可。因为对于 \(S_{0,0}\) 中的任意点它们距离的平方模 \(4\) 余 \(0\)，\(S_{1,1}\) 也同理；对于 \(S_{0,0}\) 与 \(S_{1,1}\) 之间的点它们距离的平方模 \(4\) 余 \(2\)。满足两两不同的条件。

• 若 \(S_{1,0}\) 以及 \(S_{1,0}\) 均非空，类比 \(S_{0,0}\) 以及 \(S_{1,1}\) 非空的情况即可。

• 若以上条件均不满足，即 \(S_{0,0},S_{0,1},S_{1,0},S_{1,1}\) 中恰有一个非空，那么我们令所有点横纵坐标除以 \(2\)，再重复以上操作即可，因为我们总能找到一个时刻使得 \(S_{0,0},S_{0,1},S_{1,0},S_{1,1}\) 不止一个非空。

这样即可通过此题。

---

你可能会疑惑我为什么要为这道 *2300 的题专门写篇题解，题目本身虽然简单，但也能从中学到一个解决构造题的技巧：观察题目中奇偶性。有不少构造题都是以奇偶性为突破口解决的，当然有时候解构造题的关键不仅仅局限于奇偶性，包括题目中给定的一些特殊的条件等，总而言之解决构造题的技巧说白了只有一点，那就是观察题目中的性质。u1s1 我构造题做不出来大概也就是因为我不具备猜结论的能力罢

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=1e3;
int n,x[MAXN+5],y[MAXN+5];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	while(1){
		static int cnt[2][2];memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for(int i=1;i<=n;i++) cnt[x[i]&1][y[i]&1]++;
		if(cnt[0][0]+cnt[1][1]>0&&cnt[0][1]+cnt[1][0]>0){
			vector<int> ans;
			for(int i=1;i<=n;i++) if((x[i]&1)^(y[i]&1)) ans.pb(i);
			printf("%d\n",ans.size());
			for(int i=0;i<ans.size();i++) printf("%d ",ans[i]);
			printf("\n");return 0;
		} else if(cnt[0][0]>0&&cnt[1][1]>0||cnt[0][1]>0&&cnt[1][0]>0){
			vector<int> ans;
			for(int i=1;i<=n;i++) if(x[i]&1) ans.pb(i);
			printf("%d\n",ans.size());
			for(int i=0;i<ans.size();i++) printf("%d ",ans[i]);
			printf("\n");return 0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) x[i]>>=1,y[i]>>=1;
	}
	return 0;
}