Codeforces 285E - Positions in Permutations（二项式反演+dp）

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upd on 2021.10.20：修了个 typo（

这是一道 *2600 的 D2E，然鹅为啥我没想到呢？wtcl/dk

首先第一步我就没想到/kk，看到“恰好”二字我们可以想到一个东西叫做二项式反演（qwq 这个套路在刷多项式题时经常见到，可咋换个场景就想不到了呢？显然是我多项式白学了/doge）。我们设 \(f_k\) 表示恰好 \(k\) 个完美数的排列个数，\(g_k\) 表示钦定 \(k\) 个位置满足 \(|p_i-i|=1\)，剩下随便乱填的方案数，那么显然对于某个有 \(x\) 个完美位置的排列，它被计入 \(g_y(y<x)\) 的次数为 \(\dbinom{x}{y}\)。

也就是说 \(g_k=\sum\limits_{i=k}^nf_i\dbinom{i}{k}\)​。反演一下可得 \(f_k=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k}g_i\)​。

故我们只需求出 \(g_i\) 就行了。

怎么求 \(g_i\) 呢？这时候就要用到 DP 了，我们设 \(dp_{i,j,x,y}\) 表示填好了前 \(i\) 个位置，钦定了 \(j\) 个位置满足 \(|p_i-i|=1\)，\(x\) 表示 \(i\) 是否被选择，\(y\) 表示 \(i+1\) 是否被选择（这一步我又没想到，看来我 DP 也白学了/ww）。转移就分 \(i\) 不是被钦定为“完美位置”，\(p_i=i+1,p_i=i-1\) 三种情况转移即可，具体来说：

• \(dp_{i,j,0,0}=dp_{i-1,j,0,0}+dp_{i-1,j,1,0}+dp_{i-1,j-1,0,0}\)（放 \(i-1\) 或者不被钦定为完美位置）
• \(dp_{i,j,0,1}=dp_{i-1,j-1,0,0}+dp_{i-1,j-1,1,0}\)（\(y=1\)，只能放 \(i+1\)）
• \(dp_{i,j,1,0}=dp_{i-1,j,0,1}+dp_{i-1,j,1,1}+dp_{i-1,j-1,0,1}\)（放 \(i-1\) 或者不被钦定为完美位置）
• \(dp_{i,j,1,1}=dp_{i-1,j-1,0,1}+dp_{i-1,j-1,1,1}\)（\(y=1\)，只能放 \(i+1\)）

初始 \(dp_{1,0,0,0}=dp_{1,1,0,1}=1\)。

最后 \(g_k=(dp_{n,k,0,0}+dp_{n,k,1,0})·(n-k)!\)（\(n+1\) 不能被选择），时间复杂度 \(n^2\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=1000;
const int MOD=1e9+7;
int n,m,dp[MAXN+5][MAXN+5][2][2];
int fac[MAXN+5],ifac[MAXN+5];
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD) x-=MOD;}
int binom(int x,int y){return 1ll*fac[x]*ifac[y]%MOD*ifac[x-y]%MOD;}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);dp[1][1][0][1]=dp[1][0][0][0]=1;
	fac[0]=1;ifac[0]=ifac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) ifac[i]=1ll*ifac[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD,ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*ifac[i]%MOD;
	for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=0;j<=i;j++){
		if(j){
			add(dp[i][j][0][0],dp[i-1][j-1][0][0]);
			add(dp[i][j][1][0],dp[i-1][j-1][0][1]);
			add(dp[i][j][0][1],dp[i-1][j-1][0][0]);
			add(dp[i][j][0][1],dp[i-1][j-1][1][0]);
			add(dp[i][j][1][1],dp[i-1][j-1][0][1]);
			add(dp[i][j][1][1],dp[i-1][j-1][1][1]);
		}
		add(dp[i][j][0][0],dp[i-1][j][0][0]);
		add(dp[i][j][0][0],dp[i-1][j][1][0]);
		add(dp[i][j][1][0],dp[i-1][j][0][1]);
		add(dp[i][j][1][0],dp[i-1][j][1][1]);
	} int ans=0;
	for(int i=m;i<=n;i++){
		int ways=1ll*(dp[n][i][0][0]+dp[n][i][1][0])*fac[n-i]%MOD;
		if((i-m)&1) ans=(ans-1ll*ways*binom(i,m)%MOD+MOD)%MOD;
		else ans=(ans+1ll*ways*binom(i,m))%MOD;
	} printf("%d\n",ans);
	return 0;
}