从 [P4240 毒瘤之神的考验] 谈 OI 中的美学

感觉这题真的特别有意思，涉及了 OI 中很多非常有意思、非常美的手法，比如——平衡两部分的时间复杂度、\(n \ln n\) 的那个 Trick等等，真的一种暴力的美学。

题目大意：

多组询问，求 \(f_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \varphi(i\cdot j)\)，\(1 \le n,m \le 1e5\)，\(T \le 1e4\).

解法：

这里用一个套路一点的式子：\(\varphi(i\cdot j)=\frac{\varphi(i)\cdot \varphi(j)\cdot \gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\)，于是我们可以得到：

\[f_{n,m}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{\varphi(i)\cdot \varphi(j)\cdot \gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}
\]

运用上面那个式子的意义在于现在所有的参数都在值域 \([1,\min(n,m)]\) 之内了，于是我们可以将相同的东西提出来，也就是我上一篇博客中提到的那种方法，得到：

\[f_{n,m}=\sum_{d=1}^{\min(n,m)} \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor} \sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\varepsilon\left(\gcd(i,j)\right)\varphi(id)\varphi(jd)
\]

运用莫比乌斯反演得的意义在于，它把条件式又转化为了贡献式，使它可以快速球和，于是我们运用莫反，并将 \(\mu\) 提出来：

\[f_{n,m}=\sum_{x=1}^{\min(n,m)}\frac{x}{\varphi(x)}\sum_{y=1}^{\left\lfloor \frac{\min(n,m)}{x}\right\rfloor}\mu(y)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{xy} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{xy} \right \rfloor} \varphi(ixy)\varphi(jxy)
\]

遇到这样挺极致的情况，我们可以提出一个 \(T=xy\)，然后枚举 \(T\) 的因数，以期实现莫反/调和级数的效果。得到：

\[f_{n,m}=\sum_{T=1}^{\min(n,m)} \left(\sum_{x|T} \frac{x}{\varphi(x)} \mu\left(\frac{T}{x}\right)\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor}\varphi(iT)\right)\cdot \left(\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor}\varphi(jT)\right)
\]

我们设 \(g(T)=\sum_{x|T} \frac{x}{\varphi(x)} \mu(\frac{T}{x})\)，\(h(n,T)=\sum_{i=1}^{\left \lfloor n \right \rfloor}\varphi(iT)\)，于是：

\[f_{n,m}=\sum_{T=1}^{\min(n,m)}g(T)\cdot h(\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor,T)\cdot h(\left\lfloor \frac{m}{T} \right\rfloor,T)
\]

注意到 \(g\) 中，\(\sum\limits x \le n \ln n\)；\(h\) 中，\(nT \le n \ln n\)，所以这两个东西都可以用调和级数预处理出来，于是我们有了一个 \(\Theta(nT)\) 的做法，这是调和级数的美。

考虑继续优化。因为右手边的东西含有下取整，所以我们考虑整除分块；但是这个整除分块中 \(h\) 函数同时含有这两种参数，所以我们考虑前缀和优化：

\[t_{n,m,d}=\sum_{i=1}^d g(i)\cdot g(n,i) \cdot g(m,i)
\]

这个显然过于庞大无法预处理，并且没什么办法快速求值；一旦预处理，询问只要 \(\Theta(\sqrt n)\)，但是预处理会超时；一旦不预处理，那么询问会超时，所以我们考虑 平衡两部分时间复杂度。

具体来说，我们预处理 \(n\le S\) 且 \(m \le S\)，的部分，复杂度 \(nS^2\)；查询的时候我们暴力查询 \(\left[ 1, \left\lceil \frac{\min(n,m)}{S}\right\rceil \right]\) 的部分；其余的因为 \(\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\) 都小于等于 \(S\)，所以可以整除分块了查询。

总的时间复杂度就等于 \(\gamma = n \ln n + nS^2+T\cdot\left( \sqrt S + \frac{n}{S}\right)\)，当 \(\frac{\partial \gamma}{\partial S}=2nS-\frac{Tn}{S^2}+\frac{T}{2\sqrt S}=0\) 时最优，大概是 \(S=50\)，并且总的可以在 \(0.5s\) 之内跑出来，这是 平衡之美。

代码：https://www.luogu.com.cn/paste/hxjugkts.