Solution -「CF 494C」Helping People
\(\mathcal{Description}\)
Link.
给定序列 \(\{a_n\}\) 和 \(m\) 个操作,第 \(i\) 个操作有 \(p_i\) 的概率将 \([l_i,r_i]\) 内的元素 \(+1\)。且保证任意两个区间要么不交,要么有包含关系。求所有操作完成后序列最大值的期望。
\(n\le10^5\),\(m\le5000\)。
\(\mathcal{Solution}\)
首先应当知道,\(E(\max\{a_i\})\not=\max\{E(a_i)\}\)(不然还需要做嘛 qwq),这是由于每个数的期望值是不独立的。
从题目奇怪的限制入手——各区间构成树形关系,整个序列上的区间构成一片森林。不妨加入第 \(m+1\) 个操作区间,满足 \(l_{m+1}=1,r_{m+1}=n,p_{m+1}=0\),区间就构成一棵严格的树了。
考虑树上 DP,令 \(f(u,i)\) 表示操作完 \(u\) 子树内的所有操作后,区间最大值 \(\le i\) 的概率。同时注意到 \(m\) 相较于值域大小 \(10^9\) 非常小,所以很多数是不可能成为最大值的。记 \(u\) 子树所代表的区间内初始元素的最大值 \(mx_u\),不难发现仅有 \(k\in[mx_u,mx_u+m]\) 的 \(f(u,k)\) 有意义,而其余 \(f(u,k)\) 要不为 \(0\) 要不为 \(1\),没有记录的必要。那么状态就能优化为操作完 \(u\) 子树内的所有操作后,区间最大值 \(\le i+mx_u\) 的概率,并保证 \(i\in[0,m]\)。转移就简单了:
\]
注意单独计算 \(f(u,0)\),因为其前一项应取 \(0\)。
复杂度 \(\mathcal O(n\log n+m^2)\)。(前一项为预处理 ST 表复杂度。)
\(\mathcal{Code}\)
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
const int MAXN = 1e5, MAXLG = 16, MAXM = 5000;
int n, m, mxa, a[MAXN + 5], lg[MAXN + 5], st[MAXN + 5][MAXLG + 5];
std::vector<int> tree[MAXM + 5];
double f[MAXM + 5][MAXM + 5];
inline void chkmax ( int& a, const int b ) { if ( a < b ) a = b; }
inline int min_ ( const int a, const int b ) { return a < b ? a : b; }
inline int rint () {
int x = 0; char s = getchar ();
for ( ; s < '0' || '9' < s; s = getchar () );
for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = getchar () ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
return x;
}
inline int qmax ( const int l, const int r ) {
int k = lg[r - l + 1], ret = st[l][k];
return chkmax ( ret, st[r - ( 1 << k ) + 1][k] ), ret;
}
struct Section {
int l, r, mx; double p;
inline void read () {
l = rint (), r = rint (), mx = qmax ( l, r );
scanf ( "%lf", &p );
}
inline bool operator < ( const Section t ) const {
return l ^ t.l ? l < t.l : r > t.r;
}
} sec[MAXM + 5];
inline void solve ( const int u ) {
for ( int v: tree[u] ) solve ( v );
f[u][0] = 1 - sec[u].p;
for ( int v: tree[u] ) f[u][0] *= f[v][sec[u].mx - sec[v].mx];
for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) {
double p = 1, q = 1;
for ( int v: tree[u] ) {
p *= f[v][min_ ( sec[u].mx + i - sec[v].mx - 1, m )];
q *= f[v][min_ ( sec[u].mx + i - sec[v].mx, m )];
}
f[u][i] = sec[u].p * p + ( 1 - sec[u].p ) * q;
}
}
int main () {
n = rint (), m = rint ();
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) chkmax ( mxa, a[i] = st[i][0] = rint () );
for ( int i = 2; i <= n; ++ i ) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for ( int j = 1; 1 << j <= n; ++ j ) {
for ( int i = 1; i + ( 1 << j ) - 1 <= n; ++ i ) {
chkmax ( st[i][j] = st[i][j - 1], st[i + ( 1 << j >> 1 )][j - 1] );
}
}
for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) sec[i].read ();
sec[++ m] = { 1, n, qmax ( 1, n ), 0.0 };
std::sort ( sec + 1, sec + m + 1 );
for ( int i = 2; i <= m; ++ i ) {
for ( int j = i - 1; j; -- j ) {
if ( sec[j].l <= sec[i].l && sec[i].r <= sec[j].r ) {
tree[j].push_back ( i );
break;
}
}
}
solve ( 1 );
double ans = 0;
for ( int i = 0; i <= m; ++ i ) {
ans += ( i + mxa ) * ( f[1][i] - f[1][i - 1] );
}
printf ( "%.12f\n", ans );
return 0;
}
Solution -「CF 494C」Helping People的更多相关文章
- Solution -「CF 1342E」Placing Rooks
\(\mathcal{Description}\) Link. 在一个 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上摆 \(n\) 个车,求满足: 所有格子都可以被攻击到. 恰好存在 \(k\ ...
- Solution -「CF 1622F」Quadratic Set
\(\mathscr{Description}\) Link. 求 \(S\subseteq\{1,2,\dots,n\}\),使得 \(\prod_{i\in S}i\) 是完全平方数,并最 ...
- Solution -「CF 923F」Public Service
\(\mathscr{Description}\) Link. 给定两棵含 \(n\) 个结点的树 \(T_1=(V_1,E_1),T_2=(V_2,E_2)\),求一个双射 \(\varph ...
- Solution -「CF 923E」Perpetual Subtraction
\(\mathcal{Description}\) Link. 有一个整数 \(x\in[0,n]\),初始时以 \(p_i\) 的概率取值 \(i\).进行 \(m\) 轮变换,每次均匀随机 ...
- Solution -「CF 1586F」Defender of Childhood Dreams
\(\mathcal{Description}\) Link. 定义有向图 \(G=(V,E)\),\(|V|=n\),\(\lang u,v\rang \in E \Leftrightarr ...
- Solution -「CF 1237E」Balanced Binary Search Trees
\(\mathcal{Description}\) Link. 定义棵点权为 \(1\sim n\) 的二叉搜索树 \(T\) 是 好树,当且仅当: 除去最深的所有叶子后,\(T\) 是满的: ...
- Solution -「CF 623E」Transforming Sequence
题目 题意简述 link. 有一个 \(n\) 个元素的集合,你需要进行 \(m\) 次操作.每次操作选择集合的一个非空子集,要求该集合不是已选集合的并的子集.求操作的方案数,对 \(10^9 ...
- Solution -「CF 1023F」Mobile Phone Network
\(\mathcal{Description}\) Link. 有一个 \(n\) 个结点的图,并给定 \(m_1\) 条无向带权黑边,\(m_2\) 条无向无权白边.你需要为每条白边指定边权 ...
- Solution -「CF 599E」Sandy and Nuts
\(\mathcal{Description}\) Link. 指定一棵大小为 \(n\),以 \(1\) 为根的有根树的 \(m\) 对邻接关系与 \(q\) 组 \(\text{LCA}\ ...
随机推荐
- JS 判断上传文件类型
var video_src_file = $("#video_src_file").val(); var fileTypes = new Array("flv" ...
- 干掉 Postman?测试接口直接生成API文档,ApiPost真香!
实不相瞒我的收藏夹里躺着很多优质的开发工具,我有个爱好平时遇到感兴趣的开发工具都会记录下来,然后有时间在慢慢研究.前几天刚给同事分享一款非常好用的API文档工具,真的被惊艳到了,粉丝朋友们也感受一下吧 ...
- Solon 开发,七、自定义注解开发汇总
Solon 开发 一.注入或手动获取配置 二.注入或手动获取Bean 三.构建一个Bean的三种方式 四.Bean 扫描的三种方式 五.切面与环绕拦截 六.提取Bean的函数进行定制开发 七.自定义注 ...
- IP第一次实验:静态综合
- 【刷题-PAT】A1111 Online Map (30 分)
1111 Online Map (30 分) Input our current position and a destination, an online map can recommend sev ...
- Java 异步 I/O
Java 中的异步 I/O 简称 AIO, A 即 Asynchronous.AIO 在 JDK1.7 时引入,基于操作系统提供的异步 I/O 通信模型,封装了一些进行异步 I/O 操作的 API. ...
- T-SQL的存储过程
1.简介 存储过程可以说是一个记录集,它是由一些T-SQL语句组成的代码块,这些T-SQL语句代码像一个方法一样实现一些功能(对单表或多表的增删改查),然后再给这个代码块取一个名字,在用到这个功能的时 ...
- VueRouter学习01-基本使用
## 基本使用: 1. 创建一个`VueRouter`对象:`new VueRouter()`. 2. 在`VueRouter`中,需要传递一个`routes`参数.这个参数是一个数组类型,数组中存储 ...
- Spring boot + Vue axios 文件下载
后端代码: @GetMapping("/{sn}") @ApiOperation(value = "获取文件",notes = "获取文件" ...
- 领域驱动设计-CQRS
CQRS 代表命令查询职责分离.这是我第一次听到Greg Young描述的模式.其核心概念是,您可以使用与用于读取信息的模型不同的模型来更新信息.在某些情况下,这种分离可能很有价值,但请注意,对于大多 ...