[luogu5294]序列

也是一道保序回归的题，但思路不同于论文中模板题

考虑两个开口向上的二次函数$f(x)$和$g(x)$，求任意实数$x,y$满足$x\le y$且最小化$f(x)+g(y)$，这个最小值可以分类讨论求出：

1.若$f(x)$最小值位置小于等于$g(x)$的最小值位置，显然都取最小值即可；

2.若$f(x)$最小值位置大于$g(x)$的最小值位置，再对$x$的位置分类讨论——

(1)若$x$的位置在$g(x)$最小值的右侧，根据二次函数的性质应取$y=x$；

(2)若$x$的位置在$g(x)$最小值的左侧，显然$y$应取$g(x)$的最小值，那么$x$也应等于$y$

由此，我们可以得到此时最小值必然为$x=y$

（事实上，对于任意在最小值两侧单调的函数$f(x)$和$g(x)$，都具有此性质）

每一个位置就是一个这样的二次函数，对于相邻两个二次函数也就是求上述实数对$(x,y)$

考虑一个暴力的做法：不断找到相邻两个二次函数，使得前者的最小值大于后者的最小值，并根据第2种情况，将两者合并为同一个二次函数$f(x)+g(x)$，最终每一个二次函数最小值之和即为答案

关于合并的顺序是否影响答案，由于每一次合并都保证答案最优，因此最终答案也一定最优，当然也可以证（kou）明（hu）不会影响答案

所谓影响答案，影响的是相邻两点“是否合并”这件事情的不同，同时合并后最小值一定是向中间靠的，因此合并后一定“更可以合并”，由此不难证明合并顺序不影响答案

这一做法的具体实现可以通过单调栈，将前面的二次函数都求出，每次插入一个函数并考虑是否需要与栈顶的二次函数合并即可

对于修改$(x,y)$，先对单调栈作预处理，即用主席树维护出每一个前缀或后缀的单调栈的区间和（对于删除只需要记录栈大小即可）

根据合并顺序的任意，可以先将$[1,x)$和$(x,n]$这两段都合并（合并后的信息在主席树中维护），之后考虑求出左右最终与$x$合并的段数$l$和$r$（注意这里方便表述使用了数量，而代码中用的是下标）

称一对$(l,r)$合法当且仅当将这$l+r+1$个二次函数（包括$x$自己）合并后，与左右两个单调栈内剩下的二次函数最小值单调不下降

合法的$(l,r)$具有单调性，具体来说就是$(l,r)$合法则$(l+1,r)$和$(l,r+1)$都合法

但合法仅仅只是必要条件，问题在于：可以通过与右边单调的部分去合并，使得其值增大，从而与左边原来不单调的部分也单调，这样是不正确的

换言之，我们需要保证最后一次对$l$和$r$的合并都是不单调的合并，即对于$(l,r-1)$，右端点不单调；对于$(l-1,r)$，左端点不单调

具体实现中，为了方便二分，可以先选择$(l,r)$合法以及$(l,r-1)$右端点不单调这两个条件，确定出最小的$r$（对于确定的$l$），之后判定$(l,r)$左端点是否单调（要求单调）

接下来，在外面再套一层对$l$的二分，同样找到最小的合法的$l$即保证了$(l-1,r)$左端点不单调的条件

如果二分后用主席树做复杂度为$o(q\log^{3}n)$，在$r$上的二分可以直接在主席树上二分，因此复杂度为$o(q\log^{2}n)$

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 100005
  4 #define mod 998244353
  5 #define ll long long
  6 #define mid (l+r>>1)
  7 int n,m,x,y,top,ans,rt[2][N],sz[2][N];
  8 int ksm(int n,int m){
  9     int s=n,ans=1;
 10     while (m){
 11         if (m&1)ans=1LL*ans*s%mod;
 12         s=1LL*s*s%mod;
 13         m>>=1;
 14     }
 15     return ans;
 16 }
 17 struct fun{
 18     int a,c;
 19     ll b;
 20     bool operator < (const fun &k)const{
 21         //-b/(2*a)<-k.b/(2*k.a)
 22         return b*k.a>a*k.b;
 23     }
 24     fun operator + (const fun &k)const{
 25         return fun{a+k.a,(c+k.c)%mod,b+k.b};
 26     }
 27     fun operator - (const fun &k)const{
 28         return fun{a-k.a,(c+mod-k.c)%mod,b-k.b};
 29     }
 30     int get_min(){
 31         int bb=(b%mod+mod)%mod;
 32         return (c+mod-1LL*bb*bb%mod*ksm(4*a,mod-2)%mod)%mod;
 33     }
 34 }a[N],st[N];
 35 struct Seg{
 36     int V,ls[N*40],rs[N*40],sum[N*40];
 37     fun right[N*40],f[N*40];
 38     int New(int k){
 39         V++;
 40         ls[V]=ls[k];
 41         rs[V]=rs[k];
 42         sum[V]=sum[k];
 43         right[V]=right[k];
 44         f[V]=f[k];
 45         return V;
 46     }
 47     void update(int &k,int l,int r,int x,fun y){
 48         k=New(k);
 49         if (l==r){
 50             sum[k]=y.get_min();
 51             right[k]=f[k]=y;
 52             return;
 53         }
 54         if (x<=mid)update(ls[k],l,mid,x,y);
 55         else update(rs[k],mid+1,r,x,y);
 56         if (right[rs[k]].a)right[k]=right[rs[k]];
 57         else right[k]=right[ls[k]];
 58         sum[k]=(sum[ls[k]]+sum[rs[k]])%mod;
 59         f[k]=f[ls[k]]+f[rs[k]];
 60     }
 61     fun query_fun(int k,int l,int r,int x,int y){
 62         if ((!k)||(l>y)||(x>r))return {0,0,0};
 63         if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
 64         return query_fun(ls[k],l,mid,x,y)+query_fun(rs[k],mid+1,r,x,y);
 65     }
 66     int query_sum(int k,int l,int r,int x,int y){
 67         if ((!k)||(l>y)||(x>r))return 0;
 68         if ((x<=l)&&(r<=y))return sum[k];
 69         return (query_sum(ls[k],l,mid,x,y)+query_sum(rs[k],mid+1,r,x,y))%mod;
 70     }
 71     int find(int k,int l,int r,fun x){
 72         if (l==r)return l;
 73         if (x+f[rs[k]]<right[ls[k]])return find(rs[k],mid+1,r,x);
 74         return find(ls[k],l,mid,x+f[rs[k]]);
 75     }
 76 }T[2];
 77 bool check(int l,int x,int y){
 78     fun o={1,(int)(1LL*y*y%mod),-2*y};
 79     o=o+T[0].query_fun(rt[0][x-1],1,n,l,sz[0][x-1]);
 80     int r=T[1].find(rt[1][x+1],1,n,o);
 81     if (o<T[1].right[rt[1][x+1]])r=sz[1][x+1]+1;
 82     o=o+T[1].query_fun(rt[1][x+1],1,n,r,sz[1][x+1]);
 83     return ((l==1)||(T[0].query_fun(rt[0][x-1],1,n,l-1,l-1)<o));
 84 }
 85 int calc(int l,int x,int y){
 86     fun o={1,(int)(1LL*y*y%mod),-2*y};
 87     o=o+T[0].query_fun(rt[0][x-1],1,n,l,sz[0][x-1]);
 88     int r=T[1].find(rt[1][x+1],1,n,o);
 89     if (o<T[1].right[rt[1][x+1]])r=sz[1][x+1]+1;
 90     o=o+T[1].query_fun(rt[1][x+1],1,n,r,sz[1][x+1]);
 91     int ans=o.get_min();
 92     ans=(ans+T[0].query_sum(rt[0][x-1],1,n,1,l-1))%mod;
 93     ans=(ans+T[1].query_sum(rt[1][x+1],1,n,1,r-1))%mod;
 94     return ans;
 95 }
 96 int main(){
 97     scanf("%d%d",&n,&m);
 98     for(int i=1;i<=n;i++){
 99         scanf("%d",&x);
100         a[i]=fun{1,(int)(1LL*x*x%mod),-2*x};
101     }
102     for(int i=1;i<=n;i++){
103         st[++top]=a[i];
104         rt[0][i]=rt[0][i-1];
105         while ((top>1)&&(st[top]<st[top-1])){
106             T[0].update(rt[0][i],1,n,top,{0,0,0});
107             st[top-1]=st[top-1]+st[top];
108             top--;
109         }
110         sz[0][i]=top;
111         T[0].update(rt[0][i],1,n,sz[0][i],st[top]);
112     }
113     top=0;
114     for(int i=n;i;i--){
115         st[++top]=a[i];
116         rt[1][i]=rt[1][i+1];
117         while ((top>1)&&(st[top-1]<st[top])){
118             T[1].update(rt[1][i],1,n,top,{0,0,0});
119             st[top-1]=st[top-1]+st[top];
120             top--;
121         }
122         sz[1][i]=top;
123         T[1].update(rt[1][i],1,n,sz[1][i],st[top]);
124     }
125     printf("%d\n",T[0].sum[rt[0][n]]);
126     for(int i=1;i<=m;i++){
127         scanf("%d%d",&x,&y);
128         int l=1,r=sz[0][x-1]+1;
129         while (l<r){
130             int mi=(l+r+1>>1);
131             if (check(mi,x,y))l=mi;
132             else r=mi-1;
133         }
134         printf("%d\n",calc(l,x,y));
135     }
136 }