洛谷5038 [SCOI2012]奇怪的游戏（二分+网络流+判断奇偶）

寒假的时候就听过这个题。但是一直没有写。

qwq

首先，我们发现题目中的图是个网格图，然后每次可以将相邻两个格子加一。

很容易就想到是黑白染色。那么每次操作，就相当于同时操作一个白点，一个黑点。

我们会发现，这样其实到最终局面的时候，黑点和白点所加的差是相等的，也就是说，我们假设黑点的个数是\(num1\)，权值和是\(sum1\)，白点的个数是\(num2\)，权值和是\(sum2\)。若最终局面的数字是\(x\)

\[num1\times x - sum1 =num2 \times x - sum2
\]

那么$$x = \frac{sum1-sum2}{num1-num2}$$

比较容易发现的是，如果\(num1!=num2\)，那我们可以直接求出来这个\(x\)，然后\(check\)一下就好。

那如果\(num1==num2\)呢？

由于两个格子的数目是一样的，所以，只要我们能到达\(x\)，我们也一定可以通过一些+的操作，使得局面能到达\(x+1\)。那么这时候就可以直接二分+\(check\)了。

那么该如果check呢？

其实也比较简单。

\(S\rightarrow白点,黑点\rightarrow T\)

流量是他们的权值和二分的值的差，然后黑白点之间的流量是\(inf\)，直接跑\(dinic\)即可。

记得最终的\(ans\)是操作次数，不是最小的合成的数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 5010;
const int maxm = 2e6+1e2;
const int inf = 2e18;
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int val[maxm],cnt=1,n,m;
int a[100][100];
int col[100][100];
void addedge(int x,int y,int w)
{
	nxt[++cnt]=point[x];
	to[cnt]=y;
	point[x]=cnt;
	val[cnt]=w;
}
void insert(int x,int y,int w)
{
  addedge(x,y,w);
  addedge(y,x,0);
}
int h[maxn];
int s,t;
queue<int> q;
int mx;
int tmp;
bool bfs(int s)
{
	  memset(h,-1,sizeof(h));
	  h[s]=0;
	  q.push(s);
	  while (!q.empty())
	  {
	  	int x=q.front();
	  	q.pop();
	  	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	  	{
	  		int p  = to[i];
	  		if (h[p]==-1 && val[i]>0)
	  		{
	  			q.push(p);
	  			h[p]=h[x]+1;
			  }
		  }
	  }
	  if (h[t]==-1) return false;
	  return true;
}
int dfs(int x,int low)
{
	if (x==t || low==0) return low;
	int totflow=0;
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
	{
		int p = to[i];
		if (h[p]==h[x]+1 && val[i]>0)
		{
			int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
			val[i]-=tmp;
			val[i^1]+=tmp;
			totflow+=tmp;
			low-=tmp;
			if(low==0) return totflow;
		}
	}
	if(low>0) h[x]=-1;
	return totflow;
}
int dinic()
{
	int ans=0;
	while (bfs(s))
	{
		ans=ans+dfs(s,inf);
	}
	return ans;
}
void init()
{
  cnt=1;
  memset(point,0,sizeof(point));
}
int getnum(int x,int y)
{
	return (x-1)*m+y;
}
int dx[5]={0,-1,0,1,0};
int dy[5]={0,0,-1,0,1};
bool check(int mid)
{
	init();
	if (mid<mx) return false;
	int sum1=0,sum2=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  for (int j=1;j<=m;j++)
	  {
	  	if (col[i][j]==1) insert(s,getnum(i,j),mid-a[i][j]),sum1+=mid-a[i][j];
	  	else insert(getnum(i,j),t,mid-a[i][j]),sum2+=mid-a[i][j];
	  	//sum+=mid-a[i][j];
	  }
	if (sum1!=sum2) return false;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			for (int k=1;k<=4;k++)
			{
				int ii = i+dx[k];
				int jj = j+dy[k];
				if(ii<=0 || ii>n || jj<=0 || jj>m) continue;
				if (col[i][j]==2) continue;
				insert(getnum(i,j),getnum(ii,jj),inf);
			}
		}
	}
	tmp=dinic();
	return (tmp==sum1);
}
signed main()
{
  int T=read();
  while (T--)
  {
  	  init();
	  n=read();m=read();
	  mx=0;
	  s=maxn-10;
	  t=s+1;
  	  for (int i=1;i<=n;i++)
  	    for (int j=1;j<=m;j++)
		{
		   if ((i+j)&1)
		     col[i][j]=1;
		   else col[i][j]=2;
		   a[i][j]=read();
		   mx=max(a[i][j],mx);
		}
	 int num1=0,num2=0;
	 int sum1=0,sum2=0;
	 for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
	 	for (int j=1;j<=m;j++)
	 	{
	 		if (col[i][j]==1)
	 		{
	 			num1++;
	 			sum1+=a[i][j];
			}
			else
			{
				num2++;
				sum2+=a[i][j];
			}
		 }
	 }
	 int ans = -1;
	 int l=0,r=1e18;
	 //cout<<1<<endl;
	 if (num1==num2)
	 {
	 	while (l<=r)
	 	{
	 		int mid = (l+r) >> 1;
	 		if (check(mid)) ans=tmp,r=mid-1;
	 		else l=mid+1;
	 		//cout<<1<<endl;
		}
	 }
	 else
	 {
	 	int now = (sum1-sum2)/(num1-num2);
	 	if (check(now)) ans=tmp;
	 }
	 cout<<ans<<"\n";
  }
  return 0;
}