CKKS加密方案

本文内容来自“Protecting Privacy throughHomomorphic Encryption”，主要学习里面的CKKS部分。

CKKS是一种同态加密方案，其安全性依赖于RLWE问题。明文是实数向量，表示为定点类型计算方式（实数表示方法：浮点计算和定点计算）。该方案很支持以SIMD方式在这些向量之间进行定点运算。

CKKS方案涉及几个参数，这些参数决定了该方案支持的安全级别、功能和精度。这些参数是：

1、与计算精度相对应的小数位数f；

2、（最大的）密文模数q；

3、密文维数n

我们假设每一个明文值都表示为一个二进制定点数，它在小数点后有f个小数位。密文的f值可以在使用重缩放后进行调整，这是CKKS的一个显著特征。

这里介绍实数的表示方法：

对实数的计算有两种表示形式

例如：

（有效位：6位；缩减因子：2^-5）

（这里一个实数（浮点数），可以分成两部分表示，整数部分叫做“有效位”，小数部分叫做“缩减因子”）

1、浮点计算

（有效位：6位；缩减因子：2^-4。有效位不变，缩减因子变）

2、定点计算

（有效位：7位；缩减因子：2^-5。有效位变，缩减因子不变）

在加密解密中，定点计算更合适，因为计算消耗更小（省去了约减缩减因子的计算）

密文模数q是决定方案加密计算能力的主要参数。CKKS方案的密文由2n个模q的整数组成（比如：$(c_1,c_2),c_1和c_2都是n维的向量（或者说是一个n次项的多项式）$。参数q越大，对密文执行的操作越多，精度越高。对于给定的q值，密文维数n决定了方案的安全级别，n越大表示安全性越高。读者可以参考《参数选择》那部分了解更多细节。

如上所述，CKKS允许我们加密多个定点数字在一个密文中（可以理解为，多个明文数字打包到一个明文多项式，然后加密成一个密文）。密文维数n还决定了明文多项式的大小，即n/2。

同态计算

所有涉及至少一个加密输入的计算都会产生加密输出。主要计算包括：

两个参数

1、密文加密文

2、密文加明文

3、密文乘密文

4、密文乘明文

5、密文减密文

6、密文减明文

密文-密文和密文-明文的乘法返回一个密文，其缩减因子是输入值的缩减因子的乘积。

密文-密文和密文-明文加法需要输入的缩减因子匹配（意思就是，缩减因子要一致）。

单个参数

1、求逆

2、旋转

3、重缩放

重缩放是在乘法运算之后进行，它是将输入密文的缩放因子除以特定因子的一元运算。它控制同态计算期间缩放因子的大小。密码模数在重新缩放操作后减小，如果密文模数太小，则不允许进一步乘法。

参数选择

小数位数和加密方案支持的深度是需要考虑的主要参数。如果电路深度不超过由参数确定的界限，则可以对电路进行加密评估（意思就是可以继续执行密文计算）。

精度损失和溢出是定点算法的两个主要问题。CKKS中的密文在加密和计算后会产生错误，这是由参数f控制的。f越大意味着结果越准确，但计算成本会随着f的增加而增加。同时，密文的大小必须充分小于密文模数q，以确保计算期间不会发生溢出。

最大密文模数q主要由待评估电路的乘法深度（意思就是可以执行多少次乘法计算）和精度参数f决定；更高的深度和更高的精度需要更大的密文模数，并且通常较慢。因此，一种常见的优化技术是将计算任务表示为深度最小的电路。例如，计算四个加密数字A、B、C和D的乘积最好是（A∗ B）∗ （C∗ D）而不是A∗ （B∗ （C∗ D）），因为前者具有较低的乘法深度，因此需要较小的密文模数。

更具体的以下面的图为例：

一旦确定了q，现在就可以使用“全同态加密标准 ”中的表来确定密文维度n的下限，以达到所需的安全级别。建议应用程序开发人员使用实现“全同态加密标准 ”标准的库，并自动选择正确的表，因为选择正确的表需要了解实现的某些细节，例如密钥分发。

CKKS的小例子

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// Created by Pam on 2022/2/7.

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// 首先定义参数f：小数位数，q：密文最大模数，n：密文维数

f=2;

q=65537;

n=8;

// 使用f=2的小数位的十进制表示

// 注意这里的设置并不安全！

// 要获得q=65537的方案安全性，我们至少需要n=512

// 使用这些参数，明文向量的大小为4（这里注意，明文维数：n/2）

// 用这些参数生成密钥

myPublicKey,mySecretKey=generateCKKSkey(n,q);

// 加密数据时，每个明文是由4个元素组成的向量

encrypted_a = encrypt(myPublicKey, [1.53, -11.53, 0.02, -3.32])；

encrypted_b = encrypt(myPublicKey, [12.29, 7.52, -14.47, 11.01])；

excrypted_c = encrypt(myPublicKey, [2.64, 10.78, -15.30, 13.34])；

// 现在得到了三个密文

// 现在将encrypted_a + encrypted_b

// 幸运的是，可以使用了同态加密，所以实际上可以这样做

encrypted_d = addCiphertexts(myPublicKey,encrypted_a, encrypted_b)；

// 得到密文向量  [13.82, -4.01, -14.45, 7.69]

// 现在将encrypted_a * encrypted_b * excrypted_c

encrypted_e = multiplyCiphertexts(myPublicKey, encrypted_c,encrypted_d)；

// 得到密文向量   [36.48, -43.23, 221.09, 102.58]

// 然后向右旋转2

// CKKS中的旋转大多就是进行对于矩阵的旋转，通俗一点讲就是，对于矩阵来说，旋转列可能就是将一列元素进行向左或者是向右进行平移。旋转行可能就是将矩阵的每两行进行对调，从而实现旋转的操作。

encrypted_f = rotateBy2(myPublicKey, encrypted_e)；

// 解密，使用私钥

decrypted = decrypt(mySecretKey, encrypted_f)；

print(decrypted)；

// 输出： [221.09, 102.58, 36.48, -43.23]

数据编码

在使用CKKS方案加密数据之前，需要对明文进行单独的编码操作。CKKS编码会导致精度损失，因此必须首先将明文向量乘以缩减因子（由方案参数确定），以确保编码后保持足够的精度。然后，将缩放后向量转换为方案的明文形式。密文中隐藏的缩减因子可能发生变化正在同态计算过程中。解密后，需要进行相应的解码操作。

密文模数（q）决定了编码后的底层明文上限（q/2），以保证其正确解密。例如，将密文模数设置为q=1024意味着缩放因子为32，加密12.34的密文可以正确解密，但使用缩放因子为256，加密相同的值将导致溢出。

这里不太理解： the underlying encoded plaintext，是什么意思，好几次见到了，希望大佬解惑？

其他操作

CKKS方案还使用了一些操作，这些操作不会改变底层明文（除了一些可能的精度损失之外），但出于实现原因，仍然需要这些操作。

1、密文-密文乘法和循环向量旋转的副作用是，解密结果所需的密钥与操作前所需的密钥不同。因此，这些操作之后是密钥转换操作，以将密钥转换回原始密钥。密文-密文乘法的密钥切换操作也称为重线性化。

重线性化：在CKKS中是缩减密文的维数，保证密文的大小。

密钥转换：改变密文对应的密钥，重新生成一个新的密文，所对应的密钥也不同！

重线性化湿密钥转换的一个实例！

2、Bootstrapping可以“刷新”密文并提高密文模数，以支持更多的计算。这种操作成本很高，因此不经常使用（有时甚至没有实现）。

重缩放：CKKS中的rescaling是为了保证缩放因子不变，同时降低噪音，但会造成密文模数减少，所以只能构成有限级全同态方案，这里的bootstarpping能后提升密文模数，所以使用bootstrapping技术可以构造全同态！

计算密钥

密钥切换操作要求计算者能够有一个公开的特殊计算密钥。计算密钥的生成必须由私钥所有者完成。在密文-密文乘法中，这些密钥通常被称为重线性化密钥；在密文旋转中，它们有时被称为旋转密钥或伽罗瓦密钥（Galois keys）。bootstarpping过程也需要这样的计算密钥。

CKKS的参考

CKKS加密方案最早是在[Homomorphic Encryption for Arithmetic of Approximate Numbers]中提出的。出于与BFV方案相同的原因，需要在RNS中表示大整数。已经提出并实施了CKKS方案的几个RNS变体，包括[A Full RNS Variant of the Approximate Homomorphic Encryption,Optimized Homomorphic Encryption Solution for Secure Genome-Wide Association Studies,Semi-Parallel Logistic Regression for GWAS on Encrypted Data]和[Better Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption]。现在的HE库通常实现这些RNS变体的组合，并经常添加自己的优化/可用性改进。[Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption,Improved Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption,Better Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption]中描述了CKKS的bootstrapping。

接下来搞明白RNS是什么？

实现

以下开源库具有CKKS的开源实现：

• HEAAN/RNS-HEAAN

• HElib

• Lattigo

• Microsoft SEAL

• PALISADE