AT4996-[AGC034F]RNG and XOR【FWT,生成函数】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4996

---

题目大意

给出一个\(0\sim 2^n-1\)下标的数组\(p\)，\(p_i\)表示有\(p_i\)的权重概率选择\(i\)。

开始有一个\(x=0\)，每次选择一个数字\(y\)让\(x=x\ xor\ y\)

对于每个\(i\)求期望多久后第一次变成\(i\)。

\(1\leq n\leq 18\)

---

解题思路

搞一个异或卷积的生成函数，先搞出概率的函数\(P\)。

然后设\(E\)表示答案的函数，那么有

\[E\times P+I=E+c
\]

\(c\)表示余项，\(I(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x^i\)

先求出余项\(c\)来，设\(S(A)\)表示生成函数\(A\)的所有系数和

\[S(E)\times S(P)+S(I)=S(E)+c
\]

\(S(P)=1\)，\(S(I)=2^n\)，那我们有\(c=S(I)=2^n\)

所以就有

\[E\times P+I=E+2^n
\]

\[E\times (P-1)=2^n-I
\]

\[FWT(E)=\frac{FWT(2^n-I)}{FWT(P-1)}
\]

然后跑\(FWT\)就好了。

注意跑出来的\(E_0\neq 0\)，我们要把所有的答案减去\(E_0\)

时间复杂度\(O(2^nn)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1<<19,P=998244353;
ll n,k,f[N],g[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void FWT(ll *f,ll op){
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=(p>>1);
		for(ll k=0;k<n;k+=p)
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll x=f[i],y=f[i+len];
				f[i]=(x+y)*op%P;
				f[i+len]=(x-y+P)*op%P;
			}
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&k);n=1<<k;
	ll sum=0;
	for(ll i=0;i<n;i++){
		scanf("%lld",&f[i]);
		sum=(sum+f[i])%P;g[i]=P-1;
	}
	sum=power(sum,P-2);
	for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*sum%P;
	g[0]=(g[0]+n)%P;f[0]=(f[0]+P-1)%P;
	FWT(f,1);FWT(g,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		f[i]=g[i]*power(f[i],P-2)%P;
	FWT(f,(P+1)/2);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		printf("%lld\n",(f[i]-f[0]+P)%P);
	return 0;
}