正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF755G


题目大意

\(n\)个东西排成一排,每个组可以选择一个单独的物品或者两个连续的物品,一个物品不同同时在两个组里,但是可以不在组里。对于\(i\in[1,k]\)求分成\(i\)组的方案数。

\(1\leq n\leq 10^9,1\leq k<2^{15}\)


解题思路

有三种方法。

第一种是倍增\(FFT\),设\(f_{i,j}\)表示到第\(i\)个物品选了\(j\)组时的方案数,那么设\(F_n(x)=\sum_{i=0}^kf_{n,i}x^i\)。

考虑把这个\(F\)分成两半,然后考虑中间的选不选就是

\[F_{n+m}(x)=F_{n}(x)F_m(x)+xF_{n-1}(x)F_{m-1}(x)
\]

我们发现如果需要计算\(F_{2^k}\),那么我们就需要维护\(F_{2^{k-1}},F_{2^{k-1}-1},F_{2^{k-1}-2}\)这三个东西。

但是这三个东西也可以用来计算\(F_{2^k-1},F_{2^k-2}\),所以可以维护这三个东西就行倍增。

然后处理的时候同理维护一个\(F_{m}\)和\(F_{m-1}\)就好了。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\),有点卡常

...

第二种方法是直接组合数学推导。将这个序列提出若干段,每一段之间间隔为\(1\),那么只有最末尾的段能够长度为\(2\)的。

\[ans_k=\sum_{i=1}^k\binom{n-i}{k}\binom{k}{i}
\]

瓶颈在于后面的\(\binom{k}{i}\),也就是要求前后没有重复,所以我们可以考虑允许重复的容斥

\[\Rightarrow ans_k=\sum_{i=1}^k(-1)^{i}\binom{k}{i}\binom{n-i}{k-i}2^{k-i}
\]
\[\Rightarrow \sum_{i=1}^k(-1)^i\frac{k!}{i!(k-i)!}\frac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!}2^{k-i}
\]
\[\frac{k!}{(n-k)!}\sum_{i=1}^k\frac{(-1)^i(n-i)!}{i!}\times \frac{2^{k-i}}{(k-i)!^2}
\]

就可以卷积了,时间复杂度\(O(n\log n)\)

...

第三种方法是特征方程,回到第一个方法的\(F_n(x)\),我们有

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1}
\]
\[\Rightarrow F_n(x)=(1+x)F_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x)
\]

这是一个二次项的递推式,过程就不在论述了,用特征方程化简可以得到

\[F_{n}(x)=\frac{(\frac{x+1-\sqrt {x^2+6x+1}}{2})^{n+1}}{\sqrt{x^2+6x+1}}(mod\ x^{n+1})
\]

然后上全家桶就好了,时间复杂度也是\(O(n\log n)\)

这里的标程用的是第一种方法。


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1<<16,P=998244353;
int n,k,m,r[N],f[3][N],t[3][N],g[2][N];
void fm(int &x){x+=x>>31&P;}
int power(int x,int b){
int ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(int *f,int op){
for(int i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(int p=2;p<=n;p<<=1){
int tmp=power(3,(P-1)/p),len=p>>1;
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(int k=0;k<n;k+=p){
int buf=1;
for(int i=k,tt;i<(k|len);i++){
tt=1ll*buf*f[i|len]%P;
fm(f[i|len]=f[i]-tt);
fm(f[i]=f[i]+tt-P);
buf=1ll*buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
int invn=power(n,P-2);
for(int i=0;i<n;i++)
f[i]=1ll*f[i]*invn%P;
}
return;
}
void print(int x)
{if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');return;}
signed main()
{
scanf("%d%d",&m,&k);k++;n=1;
while(n<(k*2))n<<=1;
for(int i=0;i<n;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
f[0][0]=f[0][1]=f[1][0]=g[0][0]=1;
for(int d=1;d<=m;d<<=1){
if(m&d){
for(int j=0;j<3;j++){
for(int i=0;i<n;i++)
t[j][i]=(i<k)?f[j][i]:0;
NTT(t[j],1);
}
NTT(g[0],1);NTT(g[1],1);
for(int i=0;i<n;i++){
int b0=g[0][i],b1=g[1][i];
g[0][i]=1ll*b0*t[0][i]%P;
g[1][i]=1ll*b0*t[1][i]%P;
t[0][i]=1ll*t[1][i]*b1%P;
t[1][i]=1ll*t[2][i]*b1%P;
}
NTT(g[0],-1);NTT(g[1],-1);
NTT(t[0],-1);NTT(t[1],-1);
for(int i=0;i<k-1;i++)
(g[0][i+1]+=t[0][i])%=P,
(g[1][i+1]+=t[1][i])%=P;
for(int i=k;i<n;i++)g[0][i]=g[1][i]=0;
}
if(d*2>m)break;
for(int j=0;j<3;j++){
for(int i=0;i<n;i++)
t[j][i]=(i<k)?f[j][i]:0;
NTT(t[j],1);
}
for(int i=0;i<n;i++){
f[0][i]=1ll*t[0][i]*t[0][i]%P;
f[1][i]=1ll*t[1][i]*t[0][i]%P;
f[2][i]=1ll*t[1][i]*t[1][i]%P;
t[0][i]=1ll*t[1][i]*t[1][i]%P;
t[1][i]=1ll*t[1][i]*t[2][i]%P;
t[2][i]=1ll*t[2][i]*t[2][i]%P;
}
for(int j=0;j<3;j++)
NTT(f[j],-1),NTT(t[j],-1);
for(int i=0;i<k-1;i++)
(f[0][i+1]+=t[0][i])%P,
(f[1][i+1]+=t[1][i])%P,
(f[2][i+1]+=t[2][i])%P;
for(int i=k;i<n;i++)f[0][i]=f[1][i]=f[2][i]=0;
}
for(int i=1;i<k;i++)
print(g[0][i]),putchar(' ');
return 0;
}

CF755G-PolandBall and Many Other Balls【倍增FFT】的更多相关文章

  1. 题解-CF755G PolandBall and Many Other Balls

    题面 CF755G PolandBall and Many Other Balls 给定 \(n\) 和 \(m\).有一排 \(n\) 个球,求对于每个 \(1\le k\le m\),选出 \(k ...

  2. CF755G PolandBall and Many Other Balls/soj 57送饮料

    题意:长度为n的序列,相邻两个或单独一个可以划分到一个组,每个元素最多处于一个组. 问恰好分割成k(1<=k<=m)段有多少种方案? 标程: #include<bits/stdc++ ...

  3. CF755G PolandBall and Many Other Balls 题解

    从神 Karry 的题单过来的,然后自己瞎 yy 了一个方法,看题解区里没有,便来写一个题解 一个常数和复杂度都很大的题解 令 \(dp_{i,j}\) 为 在 \(i\) 个球中选 \(j\) 组的 ...

  4. FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ

    因为垃圾电脑太卡了就重开了一个... 前传:多项式Ⅰ u1s1 我预感还会有Ⅲ 多项式基础操作: 例题: 26. CF438E The Child and Binary Tree 感觉这题作为第一题还 ...

  5. 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/常用套路【入门】

    原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/ ...

  6. CodeForces 553E Kyoya and Train 动态规划 多项式 FFT 分治

    原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8847145.html 题目传送门 - CodeForces 553E 题意 一个有$n$个节点$m$条边的有向图 ...

  7. 快速傅里叶变换FFT / NTT

    目录 FFT 系数表示法 点值表示法 复数 DFT(离散傅里叶变换) 单位根的性质 FFT(快速傅里叶变换) IFFT(快速傅里叶逆变换) NTT 阶 原根 扩展知识 FFT 参考blog: 十分简明 ...

  8. 北京培训记day1

    数学什么的....简直是丧心病狂啊好不好 引入:Q1:前n个数中最多能取几个,使得没有一个数是另一个的倍数   答案:(n/2)上取整 p.s.取后n/2个就好了 Q2:在Q1条件下,和最小为多少 答 ...

  9. NOI前的考试日志

    4.14 网络流专项测试 先看T1,不会,看T2,仙人掌???wtf??弃疗.看T3,貌似最可做了,然后开始刚,刚了30min无果,打了50分暴力,然后接着去看T1,把序列差分了一下,推了会式子,发现 ...

随机推荐

  1. 如何在github上fork以及同步原作者代码

    参考网址:https://blog.csdn.net/llll2020/article/details/86140488 转  GitHub上fork别人打代码后如何保持和原作者同步的更新 </ ...

  2. Linux操作系统基本应用(完结)

      时间:2015-4-10 12:40Linux第一天 Linux基本命令  Linux各文件夹的作用    bin  二进制可执行命令    dev  设备特殊文件    etc  系统管理和配置 ...

  3. js获取文件名和后缀名

  4. 高德地图——公交路线规划(关键字&坐标)

    &plugin=AMap.Transfer 1.关键词方式---不支持途径(仅支持2个数据) <!DOCTYPE html> <html> <head> & ...

  5. python常用工具库介绍

    Numpy:科学计算 HOME:  http://www.numpy.org/ NumPy is the fundamental package for scientific computing wi ...

  6. css写法

    id选择器 > 类选择器 > 标签选择器 @charset "utf-8"; charset=utf-8   表示当前文档的字符集是采用utf-8的字符,也就是我们常说 ...

  7. AN INTEGER FORMULA FOR FIBONACCI NUMBERS

    https://blog.paulhankin.net/fibonacci/ This code, somewhat surprisingly, generates Fibonacci numbers ...

  8. 爱思助手备份 iPhone 时没有设置密码,恢复备份时需要密码的问题

    i4.cn 备份时 iPhone 上登陆的 Apple ID 曾经设置过备份密码,这个密码就是恢复备份时需要输入的密码!

  9. RabbitMQ-进阶

    目录 过期时间TTL 设置队列TTL 消息确认机制的配置 死信队列 内存磁盘的监控 RabbitMQ的内存控制 命令的方式 配置文件方式 rabbitmq.conf RabbitMQ的内存换页 Rab ...

  10. SSL基础知识及Nginx/Tomcat配置SSL

    HTTPS 是在 HTTPS 基础之上添加 SSL/TLS 使网络通讯加密,进而确保通信安全.可简记为 HTTPS = HTTP + SSL/TLS 本文档主要讲解常规SSL格式.Nginx 与 To ...