可满足性模块理论(SMT)基础 - 01 - 自动机和斯皮尔伯格算术

前言

如果，我们只给出一个数学问题的（比如一道数独题）约束条件，是否有程序可以自动求出一个解？
可满足性模理论(SMT - Satisfiability Modulo Theories)已经可以实现这个需求。

因此，最近想搞明白z3的实现原理。源代码没有读两句，还是找了本教材来看。
Vijay Ganesh (PhD. Thesis 2007), Decision Procedures for Bit-Vectors, Arrays and Integers
现在的任务是：

看懂这本书，搞清楚求解逻辑。
再搞清楚，如何使用SMT来求解各种问题？

可满足性模理论(SMT - Satisfiability Modulo Theories)

基本概念

数学上，这个问题属于逻辑的范畴。

一阶逻辑(First-Order Logic)及其语法

一阶逻辑: 逻辑函数的参数可以是变量，但是不能是函数。
书中把一阶逻辑看成一种数学语言。
这种语言的语法(Syntax)由字母系统(Alphabet)和构造法则(formation rules)组成。

字母系统(Alphabet)

包括逻辑符号和非逻辑符号。

Logical Symbols
- Parentheses: (, )
- Quantifier: \(\forall\)(for all), \(\exists\)(there exists)
- Boolean Connectives: \(\lnot\)(not), \(\land\)(and), \(\lor\)(or)
- Constant formulas: true, false
- Equality: =
Non-logical Symbols
- Variables: usually represented by letters x, y, z...
- Function Symbols: 函数符号通常使用小写字母来表示，f, g, h,...
  函数符号的返回类型一般不是Boolean类型。比如：f(x)可以表示为"x的父亲"。
- Relation Symbols(关系符号) or predicate symbols(谓词符号): Each relation symbol also has an associated arity
  谓词符号一般使用大写字母来表示，P, Q, R, ...
  谓词符号代表一个返回值为Boolean类型的函数。比如：P(x)可以表示"x是否是一个人"。

构造法则(Formation Rules)

包括术语(terms)和公式(formulas)。

术语(terms)
包括变量(variables)和函数(functions)。
公式(formulas)
包括：谓词符号，等式(equality)，逻辑运算符号(\(\lnot, \land, \lor\)), 修饰符(quantifiers)

其它概念

原子公式(atomic formula)
由谓词符号和等式组成的公式。原子公式不包含逻辑运算符号和修饰符。
文字(literals)
包括：原子公式和其否定。
无修饰公式(quantifier-free formulas)
由谓词符号、等式和逻辑运算符号组成的公式。比如： \(p(x)\)。
量化公式(quantified formulas)
带修饰符号的公式。比如： \(\forall x p(x)\)。
自由变量(free variable)
比如： \(p(x)\)中的\(x\)。
界限变量(bound variables)
量化公式中被限定的变化。比如： \(\forall x p(x)\)中的\(x\)。

一阶逻辑的理论和模型

这里说的理论是一个需要求解的推测.

理论(theories)
一个理论是一套一阶命题(sentence),这些命题,在一套公理(axioms)的基础上,是可以被推理出来的.
我们的目的是求解出命题中变量的值,以满足所有的命题.
模型(model)
模式是一个满足一个给定理论(所有命题)的一阶结构,表示为\(dom(M)\).
\(\phi\)是一个赋值方法,给\(\theta(\bar{x})\)的每个变量赋值一个M的元素.
\(M \models_\rho \theta(\bar{x})\)表示\(M\)和\(\phi\)满足(satisfy)\(\theta(\bar{x})\).

Theory -> signature(\(\Sigma\)) -> dom(m)

稳固性(soundness)
论证的每一步在数学上都是正确的。如果返回值为"不可满足(unsatisfiable)"，则确实是不可满足。
完备性(completeness)
如果返回值为“可满足”，则确实为可满足。并可以生成用于得出结论的所有事实。
在线(online)
决策程序以一种递增的方式接受处理新的输入，而不需要重新处理之前已经处理过的输入。
证明生成(proof-producing)
指决策程序可以对处理过程产生一个数学证明。
SAT(boolean satisfiability problem) - 布尔可满足性问题
给定一个逻辑公式，判断是否存在解。

现有的各种方法

皮尔斯伯格算术(Presburger arithmetic)

皮尔斯伯格算术公式的定义

\[
f \equiv a^T \cdot x \sim c \text{, atomic formulas} \\
f ::= \lnot f_1 | f_1 \land f_2 | f_1 \lor f_2 \\
where \\
a \text{: a column vector of integer constants} \\
c \text{: an integer constants} \\
x \text{: a column vector of integer variables} \\
a^T \text{: a row vector} \\
\sim \text{: an operator from } \{=, \ne, <, \le, >, \ge\} \\
\]

解决方案(solution)的数学表达

一个_解决方案_是一个使得公式\(\phi\)为true的变量赋值w。
\(Sol(\phi)\)为公式\(\phi\)所有的解决方案。

注：\(\phi\)应该就是皮尔斯伯格算术定义的公式。
下面是解决方案\(Sol(\phi)\)的递归定义：
\[
if \ \phi \text{ is atomic, then } Sol(\phi) = \{ w \in \mathbb{Z^n} | a^T \cdot w \sim c \} \\
if \ \phi \equiv \lnot \phi_1 \text{, then } Sol(\phi) = \mathbb{Z}^n - Sol(\phi1_1) \\
if \ \phi \equiv \phi_1 \land \phi_2 \text{, then } Sol(\phi) = Sol(\phi1_1) \cap Sol(\phi1_2) \\
if \ \phi \equiv \phi_1 \lor \phi_2 \text{, then } Sol(\phi) = Sol(\phi1_1) \cup Sol(\phi1_2) \\
where \\
\mathbb{Z} \text{: the set of integers} \\
w \text{: n-vector of integers} \\
\mathbb{Z^n} \text{: n integers} \\
\]
\(\{ a | b \}\)为满足\(b\)条件下的\(a\)。

自动化的思路

确定性有限状态自动机DFA(deterministic finite-state automaton)
\(A_{\phi}\)
一个解决方案w的数学表达
\[
w =
\begin{Bmatrix}
w_1 \\
\cdots \\
w_n
\end{Bmatrix} \\
=
\begin{Bmatrix}
b_{10} & \cdots & b_{1m} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
b_{n0} & \cdots & b_{nm} \\
\end{Bmatrix} \text{, binary matrix} \\
=
\begin{Bmatrix}
b_{10} \cdots b_{1m} \\
\cdots \\
b_{n0} \cdots b_{nm} \\
\end{Bmatrix} \text{, a vector binary strings} \\
=
\begin{Bmatrix}
b_{0} & \cdots & b_{m} \\
\end{Bmatrix} \text{, a vector of languages} \\
where \\
w_x = \begin{Bmatrix}
b_{x0} & \cdots & b_{xi} \\
\end{Bmatrix} \text{, 2's complement form, } b_{x0} \text{: sign bit} \\
b_{xy} \in \mathbb{B} \\
\mathbb{B} = \{0, 1 \} \\
b_x =
\begin{Bmatrix}
b_{1x} \\
\cdots \\
b_{nx} \\
\end{Bmatrix} , \ b_x \text{ is denoted as a letter}\\
\]
2补数(2's complement)
一种使用2进制表示有符号数的方法。
第一位为符号位，
如果是0，则记做0;
如果为1，则记做\(-2^{n-1} \text{, n is the size of the number}\)。
例如： 0010为2; 1010为-6。
语言\(L_f\)
是公式f的所有解决方案形成的所有字符串的集合。

自动机的正式描述

自动机\(A_f\)可以理解为一个类的实例，
属性：
formula
state
方法：
read(),
transition(),
satisfied()
output()
无限自动机\(A_f\)的数学描述：
\[
A_f = (S, \mathbb{B}^n, \delta, s_{initial}, S_{acc}) \\
where \\
S = \mathbb{Z} \cup \{ s_{initial} \} \text{ is the set of states, } \mathbb{Z} \text{ is the set of integers and } s_{initial} \notin \mathbb{Z} \\
s_{initial} \text{ is the start state} \\
\mathbb{B}^n \text{ is the alphabet, which is the set of n-bit vectors, } \mathbb{B} = \{0, 1\} \\
\text{The transition function } \delta : S \times \mathbb{B}^n \to S \text{ is defined as follows:} \\
\quad \delta(s_{initial}, b) = -a^T \cdot b \\
\quad \delta(l, b) = 2l + a^T \cdot b \\
\quad where \ l \in \mathbb{Z} \text{ is a non-initial state} \\
S_{acc} \text{: the set of accepting states}:
S_{acc} = \{ l \in \mathbb{Z} | l \sim c \} \cup
\begin{cases}
\{ s_{initial} \} & if \ a^T \cdot 0 \sim c \\
\emptyset & otherwise
\end{cases}
\]

自动机的状态
\(l\)是自动机\(A_f\)的状态。
\[
l_{initial} = -a^T \cdot b_0 \text{, since } b_0 \text{ are sign bits} \\
l_{x+1} = a^T \cdot
\begin{Bmatrix}
b_{10} & \cdots & b_{1x+1} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
b_{n0} & \cdots & b_{nx+1} \\
\end{Bmatrix} \\
\ \ = 2l_x + a^T \cdot b_{x+1}
\]
自动机的接受条件
\(l \sim c\)
自动机的结果
当满足接受条件时，\(b\)的值。

为什么是无限的？

这里说的无限是指状态\(l\)的可能性。基本上存在于所有的整数\(\mathbb{Z}\)中了。

转变为有限自动机，需要的过程。

2个定义: 对系数\(a^T = (a_1, \cdots, a_n)\)：
\[
\lVert a^T \rVert_{-} = \sum_{\{i | a_i < 0\}} \vert a_i \vert \\
\lVert a^T \rVert_{+} = \sum_{\{i | a_i > 0\}} \vert a_i \vert
\]

推论：
\[
-a^T \cdot b = \lVert a^T \rVert_{-} - \lVert a^T \rVert_{+} \leq \lVert a^T \rVert_{-} \\
a^T \cdot b = \lVert a^T \rVert_{+} - \lVert a^T \rVert_{-} \leq \lVert a^T \rVert_{+}
\]

引理1：给定一个原子的皮尔斯伯格算术公式\(a^T \cdot x \sim c\), a对应的自动机\(A_f\)，a当前这个自动机的状态\(l \in \mathbb{Z}\)，有下面断言：

如果\(l > \lVert a^T \rVert_{-}\), 则下一个状态\(l'\)，有\(l' > l\)。
如果\(l < \lVert a^T \rVert_{+}\), 则下一个状态\(l'\)，有\(l' < l\)。

根据引理，自动机的状态的可能性为：
\[
S = [\min(-\lVert a^T \rVert_{+}, c), max(\lVert a^T \rVert_{-}, c)] \cup \{ s_{initial}, s_{-\infty}, s_{+\infty} \}
\]
这就可以变成有限自动机。

有限自动机的正式描述

有限自动机\(A_f\)的数学描述：

\[
A_f = (S, \mathbb{B}^n, \delta, s_{initial}, S_{acc}) \\
where \\
S = [\min(-\lVert a^T \rVert_{+}, c), max(\lVert a^T \rVert_{-}, c)] \cup \{ s_{initial}, s_{-\infty}, s_{+\infty} \} \\
s_{initial} \notin \mathbb{Z} \\
s_{initial} \text{ is the start state} \\
\mathbb{B}^n \text{ is the alphabet, which is the set of n-bit vectors, } \mathbb{B} = \{0, 1\} \\
\text{The transition function } \delta : S \times \mathbb{B}^n \to S \text{ is defined as follows:} \\
\quad \delta(s_{initial}, b) = -a^T \cdot b \\
\quad \delta(s_{+\infty}, b) = s_{+\infty} \\
\quad \delta(s_{-\infty}, b) = s_{-\infty} \\
\quad \delta(l, b) =
\begin{cases}
s_{+\infty} & if \ 2l + a^T \cdot b > max(\lVert a^T \rVert_{-}, c) \\
s_{-\infty} & if \ 2l + a^T \cdot b > max(-\lVert a^T \rVert_{+}, c) \\
2l + a^T \cdot b & otherwise \\
\end{cases} \\
S_{acc} \text{: the set of accepting states}: \\
S_{acc} = \{ l \in \mathbb{Z} | l \sim c \} \\
\quad \cup \\
\begin{cases}
\{ s_{initial} \} & if \ a^T \cdot 0 \sim c \\
s_{+\infty} & if \ \sim \in \{ >, \geq, \neq \} \\
s_{-\infty} & if \ \sim \in \{ <, \leq, \neq \} \\
\emptyset & otherwise
\end{cases}
\]

References