D&F学数据结构系列——AVL树（平衡二叉树）

AVL树（带有平衡条件的二叉查找树）

定义：一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。

为什么要使用AVL树（即为什么要给二叉查找树增加平衡条件），已经在我之前的博文中说到过：http://www.cnblogs.com/sage-blog/p/3864640.html

AVL树的高度：最大为 1.44log(N+2)-1.328，实际上的高度只比 logN 稍微多一点。

当进行插入操作时，我们需要更新通向根节点的路径上那些节点的所有平衡信息，而插入操作隐含的困难是插入一个节点可能破坏AVL树的特性，这必须通过对树的修正来做到，我们称其为旋转（rotation）。

在插入以后，只有那些从插入节点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变，因为只有这些节点的子树可能发生变化。当我们沿着这条路径上行到根并更新平衡信息时，我们可以找到一个节点，它更新后的平衡信息破坏了AVL条件。如何在第一个这样的节点重新平衡这棵树？

设必须重新平衡的节点为X，这种不平衡可能出现在下面四种情况中：

（1）对X的左儿子的左子树进行一次插入

（2）对X的左儿子的右子树进行一次插入

（3）对X的右儿子的左子树进行一次插入

（4）对X的右儿子的右子树进行一次插入

情形（1）和（4）关于X点对称，（2）和（3）关于X点对称。可以看做只有两种情况。

第一种情况发生在“外面”（左左，右右）：对树进行单旋转（single rotation）。

第二种情况发生在“里面”（左右，右左）：对树进行双旋转（double rotation）。

单旋转：

上图中我们对X结点进行插入新结点操作之前，k2是满足AVL平衡特性的。在X上插入新结点后，k2的左子树比右子树深2层，k2的AVL平衡特性被破坏。为了使树恢复平衡，我们把X上移一层，并把Z下移一层。我们重新安排结点以形成一棵等价的树。抽象的形容就是：把树的形象地看成是柔软灵活的，抓住结点K1，使劲摇两下这棵树，在重力作用下，k1变成了新的根。最后将K1的右儿子Y放到k2左儿子的位置上是满足二叉查找树的性质的。

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双旋转：

在图4-34中的子树Y已经有一项插入其中，这个事实保证它是非空的。我们可以假设它有一个根和两棵子树。于是，我们可以把整棵树看成是四棵子树和由三个节点连接。恰好树B或树C中有一棵比D深两层（除非它们都是空的），但是我们不能肯定是哪一棵，但这并不重要，能保证有一棵就行。

为了让树重新平衡，我们不能再让k3作为根了，而图4-34所示的在k3和k1之间的旋转又解决不了问题，唯一的选择就是把k2用作新的根。这迫使k1是k2的左儿子，k3是k2的右儿子，B是k1的右子树，C是k2的左子树，从而完全确定了这四棵树的最终位置。

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