ZZNU-oj-2141:2333--【O(N)求一个数字串能整除3的连续子串的个数,前缀和数组+对3取余组合数找规律】
2141: 2333
题目描述 “别人总说我瓜,其实我一点也不瓜,大多数时候我都机智的一批“ 宝儿姐考察你一道很简单的题目。给你一个数字串,你能判断有多少个连续子串能整除3吗? 输入 多实例输入,以EOF结尾,每行一个数字串(长度<=1e6) 输出 每行一个数字串,表示能整除3的连续子串的个数 样例输入 (随机敲了一组样例,发现了新的bug) 样例输出
大致思路:
根据题意可知,时间复杂度只够跑单重循环,多重循环就炸了!
求一次前缀和,存进dp数组!然后对3取余,分别求出0/1/2的个数为sum0和sum1和sum2;
由面向(第三组)样例编程原理可知,其前缀和数组%3取余后的结果dp=“ 121 110 20 ”,sum0=2,sum1为4,sum2为2;
每个前缀和%3为0,最终结果ans+=sum0,然后每两个o对应的下标i和j之间那段的和也是0(因为0-0=0),故ans+=(sum*(sum-1)/2);
然后每两个1对应的下标i和j之间那段的和也是1(因为1-1=0),故ans+=(sum1*(sum1-1)/2);——这个式子也就是组合式:C(n=sum1,m=2);
然后每两个2对应的下标i和j之间那段的和也是0(因为2-2=0),故ans+=(sum2*(sum2-1)/2);
数学推理:
求出前缀和数组为sum,sumi-sumj表示i--j的数组和;
若(sumi-sumj)%3==0, 推得sumi%3 -sumj%3==0; 枚举可知sumi和sumj同为0,1,2即可!
遍历一遍对3取余后的sum数组即可得到0,1,2的个数为sum0和sum1和sum2!
ans=sum0*(sum0-1)/2+sum1*(sum1-1)/2+sum2*(sum2-1)/2+sum0;
面向样例编出来的代码:
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<math.h>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
#define N 1000008
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1 char s[N];
int a[N];
ll dp[N];
int main(){
s[]='';
while(scanf("%s",s+)!=EOF){
int len=strlen(s);
memset(dp,,sizeof(dp)); for(int i=;i<len;i++){
a[i]=s[i]-'';
dp[i]=(a[i]+dp[i-])%;
}
ll sum0=,sum1=,sum2=,ans=;
for(int i=;i<len;i++){
if(dp[i]==)
sum0++;
else if(dp[i]==)
sum1++;
else
sum2++;
}
ans=sum0*(sum0-)/+sum1*(sum1-)/+sum2*(sum2-)/+sum0; printf("%lld\n",ans);
} return ;
}
(严格的数据会超int的数据范围,故用longlong)
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