ZZNU-oj-2141:2333--【O(N)求一个数字串能整除3的连续子串的个数，前缀和数组+对3取余组合数找规律】

2141: 2333

题目描述

“别人总说我瓜，其实我一点也不瓜，大多数时候我都机智的一批“ 宝儿姐考察你一道很简单的题目。给你一个数字串，你能判断有多少个连续子串能整除3吗？

输入

多实例输入，以EOF结尾，每行一个数字串（长度<=1e6）

输出

每行一个数字串，表示能整除3的连续子串的个数

样例输入

       （随机敲了一组样例，发现了新的bug）

样例输出

大致思路：

　　根据题意可知，时间复杂度只够跑单重循环，多重循环就炸了！

　　求一次前缀和，存进dp数组！然后对3取余，分别求出0/1/2的个数为sum0和sum1和sum2；

　　由面向（第三组）样例编程原理可知，其前缀和数组%3取余后的结果dp=“ 121 110 20 ”，sum0=2，sum1为4，sum2为2；

　　每个前缀和%3为0，最终结果ans+=sum0，然后每两个o对应的下标i和j之间那段的和也是0（因为0-0=0），故ans+=(sum*(sum-1)/2);

　　然后每两个1对应的下标i和j之间那段的和也是1（因为1-1=0），故ans+=(sum1*(sum1-1)/2);——这个式子也就是组合式：C（n=sum1,m=2）;

　　然后每两个2对应的下标i和j之间那段的和也是0（因为2-2=0），故ans+=(sum2*(sum2-1)/2);

数学推理：

　　求出前缀和数组为sum，sumi-sumj表示i--j的数组和；

　　若（sumi-sumj）%3==0, 推得sumi%3 -sumj%3==0; 枚举可知sumi和sumj同为0,1,2即可！

　　遍历一遍对3取余后的sum数组即可得到0,1,2的个数为sum0和sum1和sum2！　　

ans=sum0*(sum0-1)/2+sum1*(sum1-1)/2+sum2*(sum2-1)/2+sum0;

面向样例编出来的代码：

 #include <iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<math.h>
 #include<map>
 #include<set>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define N 1000008
 #define lson rt<<1
 #define rson rt<<1|1

 char s[N];
 int a[N];
 ll dp[N];
 int main(){
     s[]='';
     while(scanf("%s",s+)!=EOF){
         int len=strlen(s);
         memset(dp,,sizeof(dp));

         for(int i=;i<len;i++){
             a[i]=s[i]-'';
             dp[i]=(a[i]+dp[i-])%;
         }
         ll sum0=,sum1=,sum2=,ans=;
         for(int i=;i<len;i++){
             if(dp[i]==)
                 sum0++;
             else if(dp[i]==)
                 sum1++;
             else
                 sum2++;
         }
         ans=sum0*(sum0-)/+sum1*(sum1-)/+sum2*(sum2-)/+sum0;

         printf("%lld\n",ans);
     }

     return ;
 }

（严格的数据会超int的数据范围，故用longlong）