树形DP（超详细！！！）

一、概念

1、什么是树型动态规划

树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：

1. 叶－>根：在回溯的时候从叶子节点往上更新信息
2. 根 - >叶：往往是在从叶往根dfs一遍之后（相当于预处理），再重新往下获取最后的答案。

不管是 从叶－>根 还是 从 根 - >叶，两者都是根据需要采用，没有好坏高低之分。

2、树真的是一种特别特别优美的结构！

用来做动态规划也简直是锦上添花再美不过的事，因为树本身至少就有“子结构”性质（树和子树）；本身就具有递归性。所以在树上DP其实是其所当然的事，相比线性动态规划来讲，转移方程更直观，更易理解。

3、难点

1. 和线性动态规划相比，树形DP往往是要利用递归+记忆化搜索。
2. 细节多，较为复杂的树形DP，从子树，从父亲，从兄弟……一些小的要处理的地方，脑子不清晰的时候做起来颇为恶心
3. 状态表示和转移方程，也是真正难的地方。做到后面，树形DP的老套路都也就那么多，难的还是怎么能想出转移方程，各种DP做到最后都是这样！

二、经典问题

【树的重心/质心】

对于一棵n个结点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点数最小，即删除这个点后最大连通块的结点数最小。那么这个点就是树的重心。

例题：题目大意：对于一棵无根树，找到一个点使得树以该点为根的有根树，最大子树（选择该节点后其子树的最大节点）的节点数最小。

解法：任选一个结点为根，把无根树变成有根树，然后设f[i]表示以i为根的子树的结点个数。

程序实现：一次DFS，在无根树转有根树的同时计算。对于结点i，子树中最大结点个数为max{f[j]}个结点，i的“上方子树”中有n-f[i]个结点，只需在dfs过程中找到最大的子树节点，并与其上方的节点数做比较，就可以找出树的重心了。

补充性质：

1.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上

3.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离

【树的直径】

树的直径: 树的直径是指树的最长简单路。

例题：题目大意：对于一棵无根树，找到树的一条直径。假设边权为1。

解法一：从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点，然后在从这个最远点开始搜，就可以搜到另一个最长路的端点，即用两遍广搜就可以找出树的最长路。

解法二：算是树的直径的一个性质，树的直径的长度一定会是某个点的最长距离f[i]与次长距离g[i]之和。最后求出max{f[i]+g[i]}就可以了。 令j是i的儿子，则：

1、若f[j]+dis[i][j]>f[i]，则g[i]=f[i]，f[i]=f[j]+dis[i][j]；//最大值次大值被更新

2、否则，若f[j]+dis[i][j]>g[i]，则g[i]=f[j]+dis[i][j]；//次大值被更新

【树的中心】

首先题意是在一棵树T中输出每个结点到叶子的最远距离； 　

首先第一个dfs求出所有每个节点i在其子树中的正向最大距离和正向次大距离和d[i][0]和d[i][1]（如果i节点在子树中最大距离经过了2号儿子，那么次大距离就是不经过2号儿子的最大距离）。并且还要标记c[i]=j表示节点i在其子树中的最大距离经过了节点j（即j是i的一个儿子）。 　　

由上步我们获得了正向最大距离，正向次大距离和最大距离的儿子节点标记。画图可以知道我们建立的这棵树，i节点的最远距离只有两种选择：i节点所在子树的最大距离，或者i节点连接它的父节点所能到达的最大距离。

所以我们只要求出反向最大距离d[i][2]（即i节点往它的父节点走所能到达的最大距离）就可以知道i节点在整个树中能走的最大距离了。 d[i][2]求法：i节点往它的父节j点走，如果它的父节点的正向最大距离不经过i的话，那么d[i][2]要不就是它父节点的反向最大距离+W[i][j]要不就是它父节点的正向最大距离+ W[i][j]. 如果它的父节点的正向最大距离经过i的话，那么d[i][2]要不就是它父节点的反向最大距离+W[i][j]要不就是它父节点的正向次大距离+ W[i][j]. 　　

上面就是dfs2要求的值。最终f[i]=max（d[i][0]，d[i][2]）

二、普通树形DP

普通的树形DP中，常常会采用叶->根的转移形式，根据父亲的状态，来确定子节点的状态，若子节点有多个，则需要一一枚举，将子节点（子树）的DP值合并。

P1352 没有上司的舞会

题目描述

某大学有N个职员，编号为1~N。他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数Ri，但是呢，如果某个职员的上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数N。(1<=N<=6000) 接下来N行，第i+1行表示i号职员的快乐指数Ri。(-128<=Ri<=127) 接下来N-1行，每行输入一对整数L,K。表示K是L的直接上司。

输出格式：

输出最大的快乐指数。

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经典的树形dp

设f[x][0]表示以x为根的子树,且x不参加舞会的最大快乐值

f[x][1]表示以x为根的子树，且x参加了舞会的最大快乐值

则f[x][0]=sigma{max(f[y][0],f[y][1])} (y是x的儿子)

f[x][1]=sigma{f[y][0]}+h[x] (y是x的儿子)

先找到唯一的树根root 则ans=max(f[root][0],f[root][1])

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P2015 二叉苹果树

【问题描述】

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉，这棵树共有N个结点，编号为1-N,树根编号一定是1。 现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

【样例输入】

5 2

1 3 1

1 4 10

2 3 20

3 5 20

【样例输出】

21

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【思路点拨】

需要保留Q条树枝，即保留j=Q+1个结点。分三种情况讨论：

①全部保留右子树中的j-1个结点；//根结点必须保留

②全部保留左子树中的j-1个结点；

③左子树保留k个结点，则右子树保留j-k-1个结点。

设树根为i，左儿子为l[i],右儿子为r[i]，对于①情况，要取得该方案的最大值，需要取得以r[i]为根的子树保留j-1个结点的最大值。②③同理。

f[i][j]：以i为根的树上保留j个节点的最大权值和。

状态转移方程：

初始化：

目标：