【JZOJ6217】【20190614】最大面积

题意

平面上有\(n\)个点\(A_i\)，\(q\)次询问，每次给出一个点\(P\)，求：

\[\sum_{i=L}^{R} 2S_{\triangle OPA_i}
\]

最大值，其中$S_{\triangle_{ABC}} \ = \ \frac{\vec{AB}\times\vec{AC} }{2} $为三角形的有向面积

$1 \le n \le 10^5 \ , \ 1 \le q \le 10^6 $

题解

• 求出\(n^2\)个区间点和，求出他们构成的凸包

• 对于一个询问向量\((A,B)\)，最优的点就是\((-A,-B)\)卡住的点(此时整个凸包在它左手边)

• 对于所有询问可以旋转卡壳\(O(q+n)\)完成

• 考虑如何求\(n^2\)个区间点和构成的凸包

• 对区间分治：考虑区间\([l,r]\) : 从\(mid\)向左做点后缀和，向右做点前缀和

• 对两边分别求凸包做\(minkowski\)和就得到了跨越\(mid\)区间点和的凸包，分治下去

• 这样得到的候选点的个数是\(n log \ n\)的，最后作一次总凸包

• 时间复杂度\(O(n \log ^2 n + q)\)

  #include<bits/stdc++.h>
  #define il inline
  #define rg register
  #define ll long long  
  
  using namespace std;
  const int N=2000010;
  
  int n,m,tot,tp;ll ans[N];
  struct P{
  	ll x,y,z;
  	P(ll _x=0,ll _y=0,ll _z=0):x(_x),y(_y),z(_z){};
  	P operator +(const P&a)const{return P(x+a.x,y+a.y);}
  	P operator -(const P&a)const{return P(x-a.x,y-a.y);}
  	bool operator <(const P&a)const{return x==a.x?y<a.y:x<a.x;}
  	void rev(){x=-x,y=-y;}
  }p[N],q[N],L[N],R[N],S[N],st[N];
  ll crs(P a,P b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
  
  void chkmin(ll&x,ll y){if(x>y)x=y;}
  void chkmax(ll&x,ll y){if(x<y)x=y;}
  
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0,f=1;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=gc();}
  	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=gc();}
  	return x*f;
  }
  char ps[1000000],*pp=ps;
  void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);pp=ps;}
  void push(char x){if(pp==ps+1000000)flush();*pp++=x;}
  void write(ll x){
  	static int sta[20],top;
  	if(x<0)push('-'),x=-x;
  	if(!x){push('0');push('\n');return;}
  	while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;
  	while(top)push(sta[top--]^'0');
  	push('\n');
  }
  
  void convex(P*A,int&cnt){
  	if(cnt==1){A[2]=A[1];return;}
  	sort(A+1,A+cnt+1);
  	st[tp=1]=A[1];
  	for(int i=2;i<=cnt;++i){
  		while(tp>1 && crs(st[tp]-st[tp-1],A[i]-st[tp])<=0 )tp--;
  		st[++tp]=A[i];
  	}
  	int now=tp;
  	for(int i=cnt-1;i;--i){
  		while(tp>now && crs(st[tp]-st[tp-1],A[i]-st[tp])<=0 )tp--;
  		st[++tp]=A[i];
  	}
  	cnt=0;
  	for(int i=1;i<=tp;++i)if(!cnt||(st[i].x!=A[cnt].x||st[i].y!=A[cnt].y))A[++cnt]=st[i];
  	cnt--;
  }
  
  void minkow(P*A,int cnt1,P*B,int cnt2){
  	int j=1;
  	for(int i=1;i<=cnt1;++i){
  		S[++tot]=A[i]+B[j];
  		P now=A[i+1]-A[i];
  		while(j<=cnt2&&crs(B[j+1]-B[j],now)>=0)S[++tot]=A[i]+B[++j];
  	}
  	while(j<=cnt2)S[++tot]=A[1]+B[j++];
  }
  
  void solve(int l,int r){
  	if(l==r){S[++tot]=p[l];return;}
  	int mid=(l+r)>>1,cnt1=0,cnt2=0;
  	L[++cnt1]=R[++cnt2]=P(0,0);
  	for(int i=mid;i>=l;--i)++cnt1,L[cnt1]=L[cnt1-1]+p[i];
  	for(int i=mid+1;i<=r;++i)++cnt2,R[cnt2]=R[cnt2-1]+p[i];
  	convex(L,cnt1);convex(R,cnt2);
  	minkow(L,cnt1,R,cnt2);
  	solve(l,mid);solve(mid+1,r);
  }
  
  bool cmp(P a,P b){
  	return crs(a,b)>0;
  	//return atan2(a.y,a.x)<atan2(b.y,b.x);
  }
  void calc(){
  	sort(q+1,q+m+1,cmp);
  	int j=1,hd=1;while(!q[hd].x&&!q[hd].y)++hd;
  	//while(tot>1&&crs(q[hd],S[j%tot+1]-S[j])<=0)j=j%tot+1;
  	for(int i=1;i<=tot;++i)if(crs(q[hd],S[i]-S[j])<0)j=i;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		if(!q[i].x&&!q[i].y)continue;
  		while(tot>1&&crs(q[i],S[j%tot+1]-S[j])<=0)j=j%tot+1;
  		ans[q[i].z]=-crs(q[i],S[j]);
  	}
  }
  //查询答案的时候注意细节， 存在(0,0).......
  int main(){
  	freopen("area.in","r",stdin);
  	freopen("area.out","w",stdout);
  	n=rd(),m=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i)p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
  	int tmp=0;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		q[++tmp].x=-rd(),q[tmp].y=-rd(),q[tmp].z=i;
  		if(!q[tmp].x&&!q[tmp].y)tmp--;
  	}
  	swap(tmp,m);
  	solve(1,n);
  	convex(S,tot);
  	calc();
  	for(int i=1;i<=tmp;++i)write(ans[i]);
  	return flush(),0;
  }
  //