cf785D(组合数学)

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/785/D

题意: 左边全为 '(' 右边全为 ')' 且两者数量想等的字符串称为 RSBS. 给出一个由 '(' 和 ')' 组成的字符串, 问其有多少子序列是 RSBS.

思路: 可以先预处理一下, 用 a[i] 记录 i 前面(包括 i 这个位置)的 '(' 的数目, b[i] 记录 i 后面(包括 i 这个位置)的 ')' 的数目, 然后从左往右枚举以 '(' 结尾的情况,

那么当前情况下的 RSBS 数目为:

C(a[i] - 1, 0) * C(b[i], 1) + C(a[i] - 1, 1) * C(b[i], 2) + C(a[i] - 1, 2) * C(b[i], 3) + ...

= ∑^{min(a-1, b-1)}₀  C(a - 1, x) * C(b, x + 1)

= ∑^{min(a-1, b-1)}₀  C(a - 1, a - 1 - x) * C(b, x + 1)

= C(a - 1 + b, a) (范德蒙恒等式)

然后将所有情况的 RSBS 数目累加一下就好啦.

注意这里的组合数比较大, 取模的话需要用到 exgcd 或者 快速幂.

代码1: 快速幂求组合数取模 C(n, m) % mode = (n! % mode) * get_pow((n - m)! * m! % mode, mode - 2) % mode. (这个公式能通过费马小定理变换得到).

 #include <iostream>
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int mode = 1e9 + ;
 const int MAXN = 2e5 + ;
 ll a[MAXN], b[MAXN], gel[MAXN];
 string s;

 ll get_pow(ll x, int n){
     ll ans = ;
     while(n){
         if(n & ) ans = ans * x % mode;
         x = x * x % mode;
         n >>= ;
     }
     return ans;
 }

 int main(void){
     ll ans = ;
     cin >> s;
     if(s[] == '(') a[] = ;
     for(int i = ; i < s.size(); i++){
         if(s[i] == '(') a[i] = a[i - ] + ;
         else a[i] = a[i - ];
     }
     for(int i = s.size() - ; i >= ; i--){
         if(s[i] == ')') b[i] = b[i + ] + ;
         else b[i] = b[i + ];
     }
     gel[] = ;
     for(int i = ; i < MAXN; i++){
         gel[i] = gel[i - ] * i % mode;
     }
     for(int i = ; i < s.size(); i++){
         if(s[i] == ')') continue;
         ll cnt1 = a[i], cnt2 = a[i] + b[i] - ;
         ans = (ans + (gel[cnt2] * get_pow(gel[cnt1] * gel[cnt2 - cnt1] % mode, mode - )) % mode) % mode;
     }
     cout << ans << endl;
     return ;
 }

代码2: 用乘法逆元求得组合数取模

 #include <iostream>
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int mode = 1e9 + ;
 const int MAXN = 2e5 + ;
 ll a[MAXN], b[MAXN], gel[MAXN];
 string s;

 void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
     if(!b){
         y = ;
         x = ;
         return;
     }
     exgcd(b, a % b, y, x);
     y -= a / b * x;
 }

 int main(void){
     ll ans = ;
     cin >> s;
     if(s[] == '(') a[] = ;
     for(int i = ; i < s.size(); i++){
         if(s[i] == '(') a[i] = a[i - ] + ;
         else a[i] = a[i - ];
     }
     for(int i = s.size() - ; i >= ; i--){
         if(s[i] == ')') b[i] = b[i + ] + ;
         else b[i] = b[i + ];
     }
     gel[] = ;
     for(int i = ; i < MAXN; i++){
         gel[i] = gel[i - ] * i % mode;
     }
     for(int i = ; i < s.size(); i++){
         if(s[i] == ')') continue;
         ll cnt1 = a[i], cnt2 = a[i] + b[i] - ;
         ll cc1 = gel[cnt2], cc2 = gel[cnt2 - cnt1] * gel[cnt1] % mode;
         ll x, y;
         exgcd(cc2, mode, x, y);
         x = (x % mode + mode) % mode;
         ans = (ans + (cc1 * x) % mode) % mode;

     }
     cout << ans << endl;
     return ;
 }