牛客小白月赛1 I あなたの蛙が帰っています 【卡特兰数】

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/85/I
题目描述

あなたの蛙が帰っています！ 

蛙蛙完成了一趟旅行，回家啦！但它还是没有去它心中非常想去的几个地方。总共有 N 个它 想去的目的地。蛙蛙下定了决心，它要做一个愿望清单，一定要让自己去那些想去的地方。蛙蛙 是这样做的：它会不定时地想起一个或多个目的地，然后按顺序写在愿望清单上。但是每次蛙蛙 出去旅行时，都会先去最近写在愿望清单上的地方，并且蛙蛙不会重复去一个目的地，但它会去 访问所有的目的地。蛙蛙有个最想去的地方，这个地方是它第一个想到的，但由于种种原因，这 个地方不能是第一个被蛙蛙访问的。蛙蛙脑中回想目的地的顺序是固定的，所以它想请问你，它最终访问这些目的地的顺序有多少种？

对于两种访问序列 和 ，它们是不同的当且仅当存在至少一个 ，使得  。

为了让大家不被卡题意，这里给出一句话题意：

已知一个没有深度限制的栈的入栈序列为 ，且  不能第一个出栈。求合法的出栈序列个数。答案对  取模。

输入描述:

第一行一个数 

 ，表示蛙蛙有 

 组询问。 
接下去 

 行，每行一个正整数 

， 表示目的地的个数（入栈元素个数）。

输出描述:

输出共 

 行，每行一个答案，格式形如 

 ，具体可见样例。 
答案可能较大，请对 

 取模后输出。

输入例子:

3
3
9
24

输出例子:

Case #1: 3
Case #2: 3432
Case #3: 508887030

-->

示例1

输入

复制

3
3
9
24

输出

复制

Case #1: 3
Case #2: 3432
Case #3: 508887030

说明

对于样例中的第一个询问，设三个目的地为 

, 

, 

，其中 

 是第一个目的地，所以不能第一个访问。则有三种合法访问序列：
 · 

 · 

 · 

备注:

 

相关知识传送门：

卡特兰数、逆元、扩展欧几里得

 

AC代码:

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <algorithm>
 #include <time.h>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #include <deque>
 #include <set>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <map>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N = 2e5+;
 const ll mod = ;
 ll fac[N];

 void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
     if(!b){ d=a; x=; y=;}
     else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
 }
 ll inv(ll a,ll n){
     ll d,x,y;
     extgcd(a,n,d,x,y);
     return d==?(x+n)%n:-;
 }

 void init() {
     fac[] = fac[] = ;
     for(int i = ; i < N; ++i) {
         fac[i] = fac[i-]*i%mod;
     }
 }
 ll cat(ll n) {
     return fac[*n]*inv(fac[n+]*fac[n],mod)%mod;
 }
 int main(int argc, char *argv[]) {
     init();
     int T;
     int ca = ;
     scanf("%d", &T);
     while(T--) {
         ll n;
         cin >> n;
         ll ans = (cat(n)-cat(n-))%mod;
         if(ans < ) ans += mod;
         printf("Case #%d: ", ca++);
         cout << ans << '\n';
     }
 }