[51nod1188]最大公约数之和 V2（筛法）

题面

传送门

题解

口胡的整除分块单次询问\(O(\sqrt{n})\)的做法居然\(T\)了？那还是好好看正解吧……

首先我们枚举\(j\)，求对于每个\(j\)有所有\(i<j\)的\(\gcd(i,j)\)之和，然后可以转化成枚举\(\gcd d\)，然后要满足\(\gcd(\frac{i}{d},\frac{j}{d})=1\)

那么最后的式子可以化成$$Ans=\sum_{j=2}^{n}\sum_{t|j,t<j}\varphi({j\over t})*t$$

复杂度和正常的筛法一样，预处理一下就能单次询问\(O(1)\)了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R ll x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=5e6+5;
bitset<N>vis;int p[N],phi[N],n,m;ll sum[N];
void init(int n){
	phi[1]=1;
	fp(i,2,n){
		if(!vis[i])p[++m]=i,phi[i]=i-1;
		for(R int j=1;j<=m&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	fp(i,2,n)fp(j,1,n/i)sum[i*j]+=phi[i]*j;
	fp(i,1,n)sum[i]+=sum[i-1];
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	int T=read();init(N-5);
	while(T--)n=read(),print(sum[n]);
	return Ot(),0;
}