洛谷 P3224 [HNOI2012]永无乡 解题报告

P3224 [HNOI2012]永无乡

题目描述

永无乡包含 \(n\) 座岛，编号从 \(1\) 到 \(n\) ，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可以将这 \(n\) 座岛排名，名次用 \(1\) 到 \(n\) 来表示。某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛到达另一个岛。如果从岛 \(a\) 出发经过若干座（含 \(0\) 座）桥可以 到达岛 \(b\) ，则称岛 \(a\) 和岛 \(b\) 是连通的。

现在有两种操作：

B x y 表示在岛 \(x\) 与岛 \(y\) 之间修建一座新桥。

Q x k 表示询问当前与岛 \(x\) 连通的所有岛中第 \(k\) 重要的是哪座岛，即所有与岛 \(x\) 连通的岛中重要度排名第 \(k\) 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。

输入输出格式

输入格式：

第一行是用空格隔开的两个正整数 \(n\) 和 \(m\) ，分别表示岛的个数以及一开始存在的桥数。

接下来的一行是用空格隔开的 \(n\) 个数，依次描述从岛 \(1\) 到岛 \(n\) 的重要度排名。随后的 \(m\) 行每行是用空格隔开的两个正整数 \(a_i\)和 \(b_i\)，表示一开始就存在一座连接岛 \(a_i\) 和岛 \(b_i\) 的桥。

后面剩下的部分描述操作，该部分的第一行是一个正整数 \(q\) ，表示一共有 \(q\) 个操作，接下来的 \(q\) 行依次描述每个操作，操作的 格式如上所述，以大写字母 \(Q\) 或 \(B\) 开始，后面跟两个不超过 \(n\) 的正整数，字母与数字以及两个数字之间用空格隔开。

输出格式：

对于每个 Q x k 操作都要依次输出一行，其中包含一个整数，表示所询问岛屿的编号。如果该岛屿不存在，则输出 \(−1\) 。

说明

对于 \(20\%\) 的数据 \(n \leq 1000, q \leq 1000\)

对于 \(100\%\) 的数据 \(n \leq 100000, m \leq n, q \leq 300000\)

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题意：点有点权，维护连通块的第\(k\)值，支持加边操作

维护第\(k\)值可以使用主席树平衡树等，这里我使用主席树

加边额外并查集维护，合并直接启发式合并，查询直接查询即可

复杂度分析

设所有的块都被合并到一块去了，且每次合并两个块时它们的大小相等

则有式子

\(T(n)=2\times T(\frac{n}{2})+\frac{n}{2}log\frac{n}{2}\)

合并的复杂度是那个是因为一个有\(s\)大小的块的主席树的链的条数有\(s\)条

updata：又玩了玩复杂度，发现似乎最坏复杂度是这样，但不能这么简单的说明，我自己也不太清楚，当做大约是\(n\)个节点的合并的复杂度在\(O(n)-O(nlogm)\)左右的吧，如果有什么能说清楚复杂度的，烦请跟我说一声QAQ

总复杂度：\(O(nlog^2n)\)

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N],num[N];
int root[N],ch[N*20][2],sum[N*20],tot,f[N],siz[N],n,m,q;
#define ls ch[now][0]
#define rs ch[now][1]
void updata(int now){sum[now]=sum[ls]+sum[rs];}
int build(int l,int r,int pos)
{
    int now=++tot;
    if(l==r)
    {
        sum[now]=1;
        return now;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid) ls=build(l,mid,pos);
    else rs=build(mid+1,r,pos);
    updata(now);
    return now;
}
int Find(int x){return f[x]==x?x:Find(f[x]);}
#define ols ch[las][0]
#define ors ch[las][1]
void merge(int &now,int las,int l,int r)
{
    if(!now) {now=las;return;}
    if(l==r)
    {
        sum[now]+=sum[las];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(ols) merge(ls,ols,l,mid);
    if(ors) merge(rs,ors,mid+1,r);
    updata(now);
}
void swap(int &x,int &y){x+=y,y=-y,y+=x,x-=y;}
void Merge(int x,int y)
{
    x=Find(x),y=Find(y);
    if(x==y) return;
    if(siz[x]<siz[y]) swap(x,y);
    merge(root[x],root[y],1,n);
    siz[x]+=siz[y];
    f[y]=x;
}
int query(int now,int l,int r,int k)
{
    if(sum[now]<k) return -1;
    if(l==r) return num[l];
    int mid=l+r>>1;
    if(sum[ls]>=k) return query(ls,l,mid,k);
    else return query(rs,mid+1,r,k-sum[ls]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),b[i]=a[i];
    std::sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i]=std::lower_bound(a+1,a+1+n,b[i])-a;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        num[b[i]]=i,f[i]=i,siz[i]=1,root[i]=build(1,n,b[i]);
    for(int u,v,i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Merge(u,v);
    }
    scanf("%d",&q);
    char op[5];
    for(int u,v,i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%s%d%d",op,&u,&v);
        if(op[0]=='B') Merge(u,v);
        else printf("%d\n",query(root[Find(u)],1,n,v));
    }
    return 0;
}

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2018.9.3