BZOJ4085: [Sdoi2015]音质检测

BZOJ4085: [Sdoi2015]音质检测

由于这题太毒了，导致可能会被某些人卡评测，于是成了一道权限题。。。

本蒟蒻表示没钱氪金。。。

但是可以去洛谷/Vijos搞搞事。。。

但是洛谷上只能评测，题面暂时不全。。。

然而Vijos上数据范围不对，应该是洛谷上的数据范围。。。

所以没钱氪金就凑合着看吧。。。

这里附上Vijos的题面。

1958 音质检测

描述

万老板希望在新的智能音乐播放设备IPOOD中，实现对波文件音质性能的评定。

离散的波文件被考虑为长度为N的整数序列：$A_1,A_2,\cdots,A_N$​。所谓的音质性能检测，可以评定任何的一个区间范围$[L,R]$，其音质性能取决于下述评分：

$\Big\{ \sum_{L<i<R} F[A_{i-1}+1]F[A_{i+1}-1] \Big\} \mod (10^9+7)$

其中F是可归纳定义的数列，满足$F[1]=1$，$F[2]=2$且$F[k+2]=F[k+1]+aF[k]+b$对于任何$k\ge 1$成立。其中$a $和$b$为正整系数。

为了可以为用户提供更好的服务体验，并希望对给定的波文件进行修正优化。这一款设备中，还应该支持对波文件的修改。
对于给定的区间范围$[L,R]$，允许用户将$A[L]$至$A[R]$同时增加一，或同时减少一。

格式

输入格式

输入的第一行有两个正整数，波文件的总长度NN，和总的修改与询问次数QQ。

第二行有两个整数，分别表示系数aa和bb。

之后若干行，一共给出NN个正整数A_1A1​到A_NAN​，满足$1 \le A[i] \le 2*10^9$。

之后$Q$行，每行是下述三种形式之一：

$plus~L~R$：将波文件数列中下标在区间$[L,R]$内的元素每一个都加一。

$minus~L~R$：将波文件数列中下标在区间$[L,R]$内的元素每一个都减一。

$query~L~R$：询问区间$[L,R]$的音质性能评分。

修改和询问中，均保证$L\le R$，且保证$A[i]$严格大于总的修改次数加一（修改操作包括plus和minus两种）。

输出格式

输出若干行，每一行对应一次询问，输出一个整数。

样例1

样例输入1

7 7
1 0
3 4 5 6 7 8 9
query 2 4
query 3 7
plus 3 5
query 2 4
plus 4 7
query 3 7
query 1 7

样例输出1

64
1766
104
7479
7687

样例2

样例输入2

7 12
123456789 987654321
1111111111 1222222222 1333333333
1444444444 1555555555 1666666666 1777777777
query 2 4
query 3 7
plus 3 5
minus 4 6
plus 5 7
query 2 4
query 1 6
plus 4 7
minus 1 4
query 3 7
query 2 6
query 1 7

样例输出2

528103209
239947280
528103209
229970829
524160263
336413855
113033289

限制

对于15%的数据，$\(N\le 8000，Q\le 8000\)$。

对于100%的数据，$\(N\le 100000，Q\le 100000，0\le a,b\le 10^9\)$。

此外：

存在15%的数据，每一次修改的区间都是[1,N]。

还存在30%的数据，a=0，b=1。

来源

SDOI 2015 round2 day1

---

题解Here!

这个题简直就是道神题。。。

首先，线段树+奇奇怪怪的矩阵快速幂应该都能想到。

关键是怎么做对吧。。。

首先考虑一个性质：我们如果有数列的相邻两项$f[i],f[i+1]$。

那么用这两项向后推$k$项其线性表示系数一定。

即表示为$f[i+k]=A\times f[i]+B\times f[i+1]+C$的形式。

那么这样我们预处理这些系数就好了嘛。

注意到维护的是一个乘积的形式，那么我们要维护这个必须得维护$8$个量。

对！你没有看错！$8$个！

将其写成$3\times 3$矩阵的形式转移会比较科学。

注意$a==0$时的特判。

以上是正解。

然后某位巨佬用了$BSGS$预处理$f$函数，简直无敌了：链接。

然而我表示并不能码出来，于是自己$YY$了一个方案。

思路大致差不多，但是维护的东西多了点。

我们可以用线段树维护$f[a_{i-1}],f[a_{i-1}+1],f[a_{i-1}-1],f[a_{i+1}],f[a_{i+1}+1],f[a_{i+1}-1]$以及两两乘积和。

加一的时候可以直接用递推式用保存的$f$值求出新的值。

减一的时候也可以解方程求值。

然后开始码码码。。。

好长啊。。。

记得尽量降低时间、空间复杂度，能$return$的地方尽量$return$，以免不必要的搜索导致$TLE/MLE$。

还有一件事，注意开$long\ long$！

还有一件事，做减法的时候如果减了两次，一定要先取模，再$+MOD$，再取模！不然会求出来负数。。。

还有一件事，注意线段树的边界问题，为这个我还浪费了一次提交，药丸。。。

附上炒鸡长的代码（码风较丑不要打我。。。）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define LSON rt<<1
#define RSON rt<<1|1
#define DATA(x,i,j) a[x].data[i-1][j-1]
#define SUM(x,i,j) a[x].sum[i-1][j-1]//为了省空间只能这么干了。。。
#define ADD(x) a[x].c
#define DEL(x) a[x].d
#define LSIDE(x) a[x].l
#define RSIDE(x) a[x].r
#define WIDTH(x) (RSIDE(x)-LSIDE(x)+1)
#define MAXN 300010
#define MOD 1000000007LL
using namespace std;
int n,m;
long long A,B,inv,f[MAXN][4];
struct node{
	long long val[4][4];
	inline void clean(){
		for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
		val[i][j]=(i==j);
	}
	friend node operator *(const node x,const node y){
		node ret;
		for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++){
			ret.val[i][j]=0;
			for(int k=1;k<=3;k++)ret.val[i][j]=(ret.val[i][j]+x.val[i][k]*y.val[k][j]%MOD)%MOD;
		}
		ret.val[3][3]=1;
		return ret;
	}
}one,two,power[35];
struct Segment_Tree{
	long long sum[3][3],data[3][3];
	int c,d,l,r;
}a[MAXN<<2];
inline long long read(){
	long long date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
long long mexp(long long a,long long b,long long c){
	long long s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=s*a%c;
		a=a*a%c;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
node pow(long long k){
	node s;
	s.clean();
	int i=1;
	while(k){
		if(k&1)s=s*power[i];
		k>>=1;
		i++;
	}
	return s;
}
void function(int i){
	node s=one*pow(f[i][0]-2);
	f[i][1]=s.val[1][2];f[i][2]=s.val[1][1];
}
void build(){
	one.val[1][1]=2;one.val[1][2]=one.val[1][3]=1;
	two.val[1][1]=two.val[1][2]=two.val[3][3]=1;
	two.val[2][1]=A;two.val[3][1]=B;
	for(int i=1;i<=32;i++){
		power[i]=two;
		two=two*two;
	}
}
inline void pushup(int rt){
	for(int i=1;i<=3;i++)
	for(int j=1;j<=3;j++){
		DATA(rt,i,j)=(DATA(LSON,i,j)+DATA(RSON,i,j))%MOD;
		SUM(rt,i,j)=(SUM(LSON,i,j)+SUM(RSON,i,j))%MOD;
	}
}
inline void add(int rt,int l){
	for(int i=1;i<=2;i++)SUM(rt,l,i)=SUM(rt,l,i+1);
	SUM(rt,l,3)=(SUM(rt,l,2)+A*SUM(rt,l,1)%MOD+B*WIDTH(rt)%MOD)%MOD;
	if(l==1){
		for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
		DATA(rt,i,j)=DATA(rt,i+1,j);
		for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,3,i)=(DATA(rt,2,i)+A*DATA(rt,1,i)%MOD+B*SUM(rt,2,i)%MOD)%MOD;
	}
	else{
		for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
		DATA(rt,i,j)=DATA(rt,i,j+1);
		for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,i,3)=(DATA(rt,i,2)+A*DATA(rt,i,1)%MOD+B*SUM(rt,1,i)%MOD)%MOD;
	}
}
inline void del(int rt,int l){
	if(A==0){
		for(int i=2;i>=1;i--)SUM(rt,l,i+1)=SUM(rt,l,i);
		SUM(rt,l,1)=(SUM(rt,l,2)-B*WIDTH(rt)%MOD+MOD)%MOD;
		if(l==1){
			for(int i=2;i>=1;i--)
			for(int j=1;j<=3;j++)
			DATA(rt,i+1,j)=DATA(rt,i,j);
			for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,1,i)=(DATA(rt,2,i)-B*SUM(rt,2,i)%MOD+MOD)%MOD;
		}
		else{
			for(int i=1;i<=3;i++)
			for(int j=2;j>=1;j--)
			DATA(rt,i,j+1)=DATA(rt,i,j);
			for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,i,1)=(DATA(rt,i,2)-B*SUM(rt,1,i)%MOD+MOD)%MOD;
		}
		return;
	}
	for(int i=2;i>=1;i--)SUM(rt,l,i+1)=SUM(rt,l,i);
	SUM(rt,l,1)=((SUM(rt,l,3)-SUM(rt,l,2)-B*WIDTH(rt)%MOD)*inv%MOD+MOD)%MOD;
	if(l==1){
		for(int i=2;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<=3;j++)
		DATA(rt,i+1,j)=DATA(rt,i,j);
		for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,1,i)=((DATA(rt,3,i)-DATA(rt,2,i)-B*SUM(rt,2,i)%MOD)*inv%MOD+MOD)%MOD;
	}
	else{
		for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=2;j>=1;j--)
		DATA(rt,i,j+1)=DATA(rt,i,j);
		for(int i=1;i<=3;i++)DATA(rt,i,1)=((DATA(rt,i,3)-DATA(rt,i,2)-B*SUM(rt,1,i)%MOD)*inv%MOD+MOD)%MOD;
	}
}
inline void pushdown_sign(int rt,int l,int c){
	if(!c)return;
	if(c>0)for(int i=1;i<=c;i++)add(rt,l);
	else for(int i=-1;i>=c;i--)del(rt,l);
}
inline void pushdown(int rt){
	if(LSIDE(rt)==RSIDE(rt))return;
	ADD(LSON)+=ADD(rt);DEL(LSON)+=DEL(rt);
	pushdown_sign(LSON,1,ADD(rt));pushdown_sign(LSON,2,DEL(rt));
	ADD(RSON)+=ADD(rt);DEL(RSON)+=DEL(rt);
	pushdown_sign(RSON,1,ADD(rt));pushdown_sign(RSON,2,DEL(rt));
	ADD(rt)=DEL(rt)=0;
}
void buildtree(int l,int r,int rt){
	LSIDE(rt)=l;RSIDE(rt)=r;ADD(rt)=DEL(rt)=0;
	if(l==r){
		for(int i=1;i<=3;i++){
			SUM(rt,1,i)=f[l-1][i];
			SUM(rt,2,i)=f[l+1][i];
		}
		for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
		DATA(rt,i,j)=SUM(rt,1,i)*SUM(rt,2,j)%MOD;
		return;
	}
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	buildtree(l,mid,LSON);
	buildtree(mid+1,r,RSON);
	pushup(rt);
}
void update_add(int l,int r,int c,int rt){
	if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){
		ADD(rt)+=c;
		pushdown_sign(rt,1,c);
		return;
	}
	pushdown(rt);
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	if(l<=mid)update_add(l,r,c,LSON);
	if(mid<r)update_add(l,r,c,RSON);
	pushup(rt);
}
void update_del(int l,int r,int c,int rt){
	if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){
		DEL(rt)+=c;
		pushdown_sign(rt,2,c);
		return;
	}
	pushdown(rt);
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	if(l<=mid)update_del(l,r,c,LSON);
	if(mid<r)update_del(l,r,c,RSON);
	pushup(rt);
}
long long query(int l,int r,int rt){
	if(l>r)return 0;
	long long ans=0;
	if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r)return DATA(rt,3,1);
	pushdown(rt);
	int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
	if(l<=mid)ans=(ans+query(l,r,LSON))%MOD;
	if(mid<r)ans=(ans+query(l,r,RSON))%MOD;
	return ans;
}
void work(){
	char ch[7];
	int x,y,l,r;
	while(m--){
		scanf("%s",ch);x=read();y=read();
		if(ch[0]=='p'){
			l=x+1;r=y+1;
			if(r>n)r=n;
			if(l<=r)update_add(l,r,1,1);
			l=x-1;r=y-1;
			if(l<1)l=1;
			if(l<=r)update_del(l,r,1,1);
		}
		else if(ch[0]=='m'){
			l=x+1;r=y+1;
			if(r>n)r=n;
			if(l<=r)update_add(l,r,-1,1);
			l=x-1;r=y-1;
			if(l<1)l=1;
			if(l<=r)update_del(l,r,-1,1);
		}
		else printf("%lld\n",query(x+1,y-1,1));
	}
}
void init(){
	n=read();m=read();A=read();B=read();
	inv=mexp(A,MOD-2,MOD);
	build();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=read();
		function(i);
		f[i][3]=(f[i][2]+f[i][1]*A%MOD+B)%MOD;
	}
	buildtree(1,n,1);
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}