POJ 2513 Colored Sticks (欧拉回路+并查集+字典树)
Description
You are given a bunch of wooden sticks. Each endpoint of each stick is colored with some color. Is it possible to align the sticks in a straight line such that the colors of the endpoints that touch are of the same color?
Input
Input is a sequence of lines, each line contains two words, separated by spaces, giving the colors of the endpoints of one stick. A word is a sequence of lowercase letters no longer than 10 characters. There is no more than 250000 sticks.
Output
If the sticks can be aligned in the desired way, output a single line saying Possible, otherwise output Impossible.
Sample Input
blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan
Sample Output
Possible
分析:
大致题意:
给定一些木棒,木棒两端都涂上颜色,求是否能将木棒首尾相接,连成一条直线,要求不同木棒相接的一边必须是相同颜色的。
解题思路:
可以用图论中欧拉路的知识来解这道题,首先可以把木棒两端看成节点,把木棒看成边,这样相同的颜色就是同一个节点
问题便转化为:
给定一个图,是否存在“一笔画”经过涂中每一点,以及经过每一边一次。
这样就是求图中是否存在欧拉路Euler-Path。
回顾经典的“七桥问题”,相信很多同学马上就明白了什么是 欧拉路 了,这里不多作解释。
由图论知识可以知道,无向图存在欧拉路的充要条件为:
① 图是连通的;
② 所有节点的度为偶数,或者有且只有两个度为奇数的节点。
其中①图的连通性用程序判断比较麻烦,先放一下。
这里先说说②关于度数的判断方法:
blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan
节点的度用颜色出现次数来统计,如样例中,蓝色blue出现三次(不管是出度还是入度),那么blue结点的度就为3,同样地,我们也可以通过输入得到其他全部结点的度,于是,我们有:
Blue=3
Red=2
Violet=1
Cyan=2
Magenta=2
用一个一维数组就能记录了,然后分别 模2,就能判断颜色结点的奇偶性
只要奇度数的结点数的个数 = 1 或 >=3 ,即使①图连通,欧拉路也必不存在
但是若 奇度数的结点数的个数 为0或 ==2,那么我们继续进行①图的连通性证明:
证明①图的连通性,使用并查集MergeSet是非常高效的方法。
基本方法:
初始化所输入的n个结点为n棵树,那么就有一个n棵树的森林,此时每棵树的有唯一的结点(根),该结点的祖先就是它本身。再通过不断地输入边,得到某两个结点(集合)之间的关系,进而合并这两个结点(集合),那么这两个集合就构成一个新的集合,集合内的所有结点都有一个共同的新祖先,就是这个集合(树)的根。
最后只要枚举任意一个结点,他们都具有相同的祖先,那么就能证明图时连通的了。
但是单纯使用并查集是会超时的,因为这样会导致每次寻找某个结点的祖先时,平均都会花费O(n/2)时间,最坏情况,当n==50W时,O(n/2)大概为25ms,那么要确定50W个结点是否有共同祖先时,总费时为50W*25ms ,铁定超,不算了= =
因此必须使用并查集时必须压缩路径,前几次搜索某个结点k的祖先时,在不断通过父亲结点寻找祖先结点时,顺便把从k到最终祖先结点S中经过的所有结点的祖先都指向S,那么以后的搜索就能把时间降低到O(1)
由于并查集必须利用 数组的下标 与 存储的对象,使用int是比较方便的处理方法,但是题目的“颜色结点”是string,不方便用来使用并查集,即使用map也不行,虽然STL的map是基于hash的基础上,但并不高效,在本题中使用会超时。
为此可以使用Trie字典树,得到每个颜色单词对应的int编号id ,可以说利用Trie把string一一映射到int,是本题后续处理的关键所在。关于动态创建字典树的方法去百度,这里不多说,下面只用用一个图简单说明一下用Trie字典树标识第一个颜色单词blue:
这个题目涉及了多个基本数据结构和算法,综合性很强,非常有代表性,能够A到这题确实是受益良多。
知识考查点:
1、字典树;
2、欧拉路:其中又考察了判断是否为连通图;
3、并查集 及其优化方法(路径压缩)。
输出:
POSSIBLE: 奇度数结点个数==0 或 ==2 且 图连通
IMPOSSIBLE:奇度数结点个数==1 或 >=3 或 图不连通
PS:注意创建TrieTree链表时,C++不存在NULL,要用 0 替代 NULL
代码:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int large=500000; //25W条棒子,有50W个端点
class TrieTree_Node //字典树结点
{
public:
bool flag; //标记到字典树从根到当前结点所构成的字符串是否为一个(颜色)单词
int id; //当前颜色(结点)的编号
TrieTree_Node* next[27];
TrieTree_Node() //initial
{
flag=false;
id=0;
memset(next,0,sizeof(next)); //0 <-> NULL
}
} root; //字典树根节点
int color=0; //颜色编号指针,最终为颜色总个数
int degree[large+1]= {0}; //第id个结点的总度数
int ancestor[large+1]; //第id个结点祖先
//寻找x结点的最终祖先
int find(int x)
{
if(ancestor[x]!=x)
ancestor[x]=find(ancestor[x]); //路径压缩
return ancestor[x];
}
//合并a、b两个集合
void union_set(int a,int b)
{
int pa=find(a);
int pb=find(b);
if(pa!=pb)
ancestor[pb]=pa; //使a的祖先 作为 b的祖先
}
//利用字典树构造字符串s到编号int的映射
int hash(char *s)
{
TrieTree_Node * p=&root; //从TrieTree的根节点出发搜索单词(单词不存在则创建)
int len=0;
while(s[len]!='\0')
{
int index=s[len++]-'a'; //把小写字母a~z映射到数字的1~26,作为字典树的每一层的索引
if(!p->next[index]) //当索引不存在时,构建索引
p->next[index]=new TrieTree_Node;
p=p->next[index];
}
if(p->flag) //颜色单词已存在
return p->id; //返回其编号
else //否则创建单词
{
p->flag=true;
p->id=++color;
return p->id; //返回分配给新颜色的编号
}
}
int main(void)
{
/*Initial the Merge-Set*/
for(int k=1; k<=large; k++) //初始化,每个结点作为一个独立集合
ancestor[k]=k; //对于只有一个结点x的集合,x的祖先就是它本身
/*Input*/
char a[11],b[11];
while(cin>>a>>b)
{
/*Creat the TrieTree*/
int i=hash(a);
int j=hash(b); //得到a、b颜色的编号
/*Get all nodes' degree*/
degree[i]++;
degree[j]++; //记录a、b颜色出现的次数(总度数)
/*Creat the Merge-Set*/
union_set(i,j);
}
/*Judge the Euler-Path*/
int s=find(1); //若图为连通图,则s为所有结点的祖先
//若图为非连通图,s为所有祖先中的其中一个祖先
int num=0; //度数为奇数的结点个数
for(int i=1; i<=color; i++)
{
if(degree[i]%2==1)
num++;
if(num>2) //度数为奇数的结点数大于3,欧拉路必不存在
{
cout<<"Impossible"<<endl;
return 0;
}
if(find(i)!=s) //存在多个祖先,图为森林,不连通
{
cout<<"Impossible"<<endl;
return 0;
}
}
if(num==1) //度数为奇数的结点数等于1,欧拉回路必不存在
cout<<"Impossible"<<endl;
else //度数为奇数的结点数恰好等于2或不存在,存在欧回路
cout<<"Possible"<<endl;
return 0;
}
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