看这篇文章的前提:已经看了PRML中的Adaboost的算法流程

看懂下面的内容必须牢牢记住:Adaboost使用的误差函数是指数误差

文章主要目的:理解样本抽样的权值是为什么那样变化的。

得出的结论:训练第m个基分类器ym时,样本n的抽样权重是fm-1在样本n上的指数误差

当ym将第n个样本分对了时,则权值保持不变,否则权值增加exp{αm}(>1)倍

  (1)

(2)

(3)

(1)表示分类器fm的误差函数是指数误差函数

(2)表示分类器fm是一系列的基函数(yl,即基分类器)的加权和,αl是基分类器yl的权重,l=1...m

(3)表示分类器fm是二分类

Adaboost是选择恰当的αl和yl使得误差E最小,l=1...m

找到全局最优是件很麻烦的事,所以决定找到局部最优,采用了前向分步算法

前向分步算法

假设前m-1个基分类器y1(x)...ym-1(x)已经确定,且相应的权重α1...αm-1也已经确定,此时只需要寻找恰当的αm和ym使得E最小。

因此E可以转换为:

(4)

根据指数误差函数,我们可以知道,其实就是fm-1在样本n上的误差,即训练ym时,样本n的抽样权重是fm-1在样本n上的误差。

(4)中右边的累加项是表示fm在样本n上的误差,所以就有了下面的递推公式

(5)

(6)

公式6很容易得到,将(6)代入(5)中,可以得到(7)

(7)

与n无关,即与样本(数据)无关,所以对样本的抽样没影响,可以去掉。

当ym将第n个样本分对了,则权值保持不变,否则权值增加expαm(>1)倍


接下来的内容是关于算法的三个主要部分的解释:

1、当考虑ym的变化时,最小化分类器fm的指数误差损失等价于最小化第m个基分类器ym的加权的0-1损失

2、当只考虑αm的变化时,最小化分类器fm的指数误差损失,得到基分类器的权值αm的值(与加权误差率的关系)

3、加权误差率

对(4)进行进一步的转换得到:

(8)

如果只考虑ym的变化,最小化E等价于最小化(9)

(9)

(9)表示加权误差和

如果只考虑αm的变化,最小化E得到

(10)

其中:

是加权误差率


补充AdaBoost算法框架

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