【做题】51NOD1753 相似子串——哈希

题意：两个字符串相似定义为：

1.两个字符串长度相等

2.两个字符串对应位置上至多有一个位置所对应的字符不相同

给定一个字符串\(s\)，\(T\)次询问两个子串在给定的规则下是否相似。给定的规则指每次给出一些等价关系，如‘a'=’b'，‘b'=’c'（具有传递性）

\(|s|,T \leq 3 \times 10^5\)

题目中的每次询问相当于把一些字符合并成了一些联通块，每个联通块内的字符视为相同。这用并查集合并。

首先考虑询问相等而非相似怎么做。直接的子串对比我们可以直接比较哈希值，但这里要支持合并字符。因此，考虑每个字符对哈希值的贡献。把它除以这个字符的权值后，就相当于这个字符在子串中的出现位置的哈希值，在每个联通块内，这是可以直接相加的。因此，我们只要比较两个子串每个联通块的出现位置是否相同，就能判断是否相等。

再考虑恰好有一位不同的情况。在这种情况下，只有两个联通块在两个子串中出现位置不同，且其哈希值的差值为哈希底数的若干次幂及其相反数。这是可以\(O(1)\)判断的。

时间复杂度\(O((|s| + T )\times26)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300010, BAS = 233, MOD = 998244353;
char s[N],t[10];
int has[26][N],n,m,pw[N],uni[30],val[2][30],rec[2],cnt;
int getfa(int pos) {
  return pos == uni[pos] ? pos : uni[pos] = getfa(uni[pos]);
}
unordered_map<int,int> mp;
int gethas(int k,int l,int r) {
  return ((has[k][r] - 1ll * has[k][l-1] * pw[r-l+1] % MOD) + MOD) % MOD;
}
void init() {
  for (int i = 1 ; i <= 26 ; ++ i)
    uni[i] = i;
  memset(val,0,sizeof val);
  cnt = 0;
}
void solve() {
  int k,l1,r1,l2,r2,x,y;
  scanf("%d%d%d%d%d",&k,&l1,&r1,&l2,&r2);
  init();
  for (int i = 1 ; i <= k ; ++ i) {
    scanf("%s",t+1);
    x = t[1] - 'a' + 1;
    y = t[2] - 'a' + 1;
    x = getfa(x);
    y = getfa(y);
    if (x != y) uni[x] = y;
  }
  for (int i = 0 ; i < 26 ; ++ i)
    (val[0][getfa(i+1)] += gethas(i,l1,r1)) %= MOD;
  for (int i = 0 ; i < 26 ; ++ i)
    (val[1][getfa(i+1)] += gethas(i,l2,r2)) %= MOD;
  int key = 0;
  for (int i = 1 ; i <= 26 ; ++ i)
    key += (val[0][i] != val[1][i]);
  if (!key) return (void) (puts("YES"));
  if (key > 2) return (void) (puts("NO"));
  for (int i = 1 ; i <= 26 ; ++ i) {
    if (val[1][i] != val[0][i]) {
      x = val[1][i] - val[0][i];
      x = (x % MOD + MOD) % MOD;
      if (!mp.count((x))) return (void) (puts("NO"));
      rec[cnt++] = mp[x];
    }
  }
  if (rec[0] == -rec[1]) puts("YES");
  else puts("NO");
}
int main() {
  scanf("%s",s+1);
  n = strlen(s+1);
  for (int i = 0 ; i < 26 ; ++ i) {
    for (int j = 1 ; j <= n ; ++ j)
      has[i][j] = (1ll * has[i][j-1] * BAS + (s[j] == 'a' + i)) % MOD;
  }
  pw[0] = 1;
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    pw[i] = 1ll * pw[i-1] * BAS % MOD;
  for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
    mp[pw[i]] = i + 1, mp[MOD - pw[i]] = -i - 1;
  scanf("%d",&m);
  for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
    solve();
  return 0;
}

小结：解题关键就在于拆分每个字符的贡献，以实现合并。这利用了哈希值容易拆分合并的性质。